primos gémeos; Teorema dos números primos

Parte 1 -

Existirão infinitos pares de números primos cuja diferença entre eles seja 2, como por exemplo 11;13 ou 17;19; ou 10006427;10006429 ?
Ninguém sabe a resposta embora a maioria dos matemáticos estejam convencidos de que muito provavelmente é afirmativa.
Este não é um assunto que me inspire particularmente nem sequer será útil a esta demonstração da Conjectura de Goldbach. Só o refiro aqui por se tratar de uma "curiosidade" específica atribuida a alguns números primos a que se convencionou de chamar números primos gémeos.
Entendo que estes p+2 = p1 ( primos gémeos ) são como que uma espécie de contingência natural. Existe uma infinidade de outras questões que de igual forma se podem de imediato colocar, como por exemplo quantos pares de números primos existem cuja diferença entre eles seja 4 como por exemplo 7;11 ou 19;23 ou em última análise p + 4 = p1 ?
O que chamaríamos a estes pares de números primos ? E se a diferença fosse 8 ? como por exemplo 11;19 ?

Ainda em relação aos primos gémeos, e para concluir este apontamento, a única generalização que me ocorre fazer é a de que (p1) -1 / 6 = n, ou se preferirem p+1/6 = n, é uma condição necessária. Por outras palavras se p + 2 = p1, então p+1 = (p1) - 1, é sempre divisível por 6. Nos exemplos com que introduzimos este post, podemos verificar que:
(11+1)=(13-1) = 12 = 2 x 6 ; (17+1)=(19-1)=18 = 3 x 6 ;
(10006427+1)=(10006429-1)=10006428 = 1667738 x 6

Parte 2 -

A descoberta do Teorema dos números primos deve ser atribuida, segundo alguns historiadores, a Carl Friedrich Gauss (1792) com apenas 15 anos de idade. Só em 1896, graças aos trabalhos independentes de C. de La Vallée Poussin e de Jacques Hadamard, foi possível a prova matemática rigorosa deste teorema.
A Função π(n) é definida como representando o número de números primos menores ou iguais a n
Na realidade esta função quantifica a distribuição dos números primos sendo portanto natural que a partir dela calculemos a razão entre n e π(n). Ou seja, qual a fracção de números primos até n.
Vejamos o resultado de um cálculo recente:

n;π(n);n/π(n)
10... 4... 2,5
100...25...4,0
1000...168...6,0
10000...1229...8,1
100000...9592...10,4
1000000...78 498...12,7
10000000...664 579...15,0
100000000...5 761 455...17,4
1000000000...50 847 534...19,7
10000000000...455 052 512...22,0

Note-se que quando avançamos de uma potência de 10 para a seguinte, a razão n/π(n), aumenta aproximadamente 2,3.
Por exemplo, 22,0 - 19,7 = 2,3

Ora, sabendo nós que o logaritmo natural de 10 ( =2,30258....), é natural que se formule a conjectura de que a função π(n) será aproximadamente igual a n / log n.
Na realidade esta é a afirmação mais formal de que:
lim π(n) / (n/log n ) = 1
ⁿ→∞
Dito de outra forma, no limite ( lim ) quando n tende para o infinito,( ⁿ→∞), a função π(n) , quando dividida pela razão n/log n , será igual a 1.

Esta poderia ser uma boa altura para vos falar da função zeta de Riemann, mas reconheço que me distanciei um pouco do tal rumo conceptual amplo e abrangente que referi na introdução deste blog. Por outro lado admito que à medida que formos entrando numa "linguagem" mais "técnica" e mais consentânea com os pergaminhos da disciplina , o "assunto" pode vir a tornar-se um pouco mais denso e até maçudo.Tentarei no meu próximo "post" utilizar um estilo de linguagem mais coloquial ( se é que se pode dizer assim ). Ou como diria Lagrange: " ...demonstração deve ser algo que possas explicar ao primeiro homem que encontres na rua"

até já