Quanto maior for n, melhor será a aproximação dada por 1/log n à proporção de números primos até n . Como vimos também, essa "proporção" ( que também pode ser obtida a partir da aplicação da função π(n) ) tende para 1 se n tende para infinito , o que em termos práticos equivale a dizer que à medida que n aumenta, a quantidade (proporção, fracção...) de números primos decresce , tornando-se cada vez mais escassa .
Embora a expressão n/log n seja uma aproximação bastante simples para π(n), não é particularmente boa. Uma das aproximações mais satisfatórias é-nos dada pela fórmula :
R(n) = 1 + ∑ 1 / k ζ (k+1) . (log n) / k !
onde ζ(z) representa a célebre função zeta de Riemann:
ζ(z) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....
( todos os denominadores tem expoente (z) )
Vejamos alguns cálculos comparativos para :
n = 100 000 000 - π(n) = 5 761 455 e R(n) = 5 761 552
n = 200 000 000 - π(n) = 11 078 937 e R(n) = 11 079 090
n = 300 000 000 - π(n) = 16 252 325 e R(n) = 16 252 355
n = 400 000 000 - π(n) = 21 336 326 e R(n) = 21 336 185
n = 500 000 000 - π(n) = 26 355 867 e R(n) = 26 355 517
"Destrocando"isto por "miúdos", que é como quem diz, utilizando uma linguagem mais informal, observamos que a "proporção" de números primos encontrados até por exemplo, 100 000 000, é, por aplicação directa da função π(n), (que dá suporte ao teorema dos números primos), igual a 5 761 455, enquanto que R(n) nos diz que a quantidade de números primos até 100 000 000 é igual a 5 761 552. Neste caso, uma diferença entre cálculos de apenas 97 números primos.
Ora, no contexto da Conjectura de Goldbach, estas ligeiras diferenças de resultados são como é óbvio, de uma importância extrema. Esses 97 números primos não foram "detectados" em π(n) , integram um universo maior de números primos que deveremos naturalmente considerar no âmbito da demonstração que temos vindo a perseguir.
Por outro lado, R(n) é tão somente uma "aproximação" mais satisfatória. Nada nos garante que um qualquer número primo possa eventualmente ficar de fora nesta "espécie" de crivos, tenham eles a forma π(n);R(n); ou qualquer outra que entretanto possa vir a ser descoberta .
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Um número, seja ele qual for, fornece-nos vários tipos de informação.
Desde logo e numa análise cognitiva básica, o conceito inerente ao próprio número.
Vejamos por exemplo o número 4.
Tem um aspecto gráfico específico que o distingue de qualquer outro número. È também um número que se "situa" no "espaço" entre o 3 e o 5, se nos detivermos numa análise "posicional" . Escreve-se com apenas um dígito sendo esta uma característica comum a todos os números de 0 a 9. Ora, é legítimo elencar um conjunto de critérios como acabamos de fazer para o número 4 e extrapolar esses critérios de análise usando-os em qualquer outro número que escolhermos.
O 6528371 é por exemplo um número com 7 dígitos ; termina em 1; não tem quatros, noves e zeros; (....)
Assim, o critério que vamos agora introduzir e que serve o nosso propósito específico de demonstração da Conjectura, refere-se aos números constituidos unicamente por dígitos que se repetem, como por exemplo :
111111;
11111111111111111111 ;
111111111111111111111111111(...)1.
A única referência que li relativamente a este "tipo" de números é neste caso particular de "uns", que se chamam de "repunit". Ou seja, números que repetem a unidade.
Como parece óbvio, podemos estender o conceito a qualquer outro número de 0 a n , dado que iremos trabalhar com números cujos dígitos se irão repetir n vezes.
Sugiro apenas por uma questão de facilidade de escrita e em detrimento de outra solução como por exemplo a utilização de potenciação , a seguinte notação:
Por exemplo :
333 = 3↑3
777777777 = 7↑9
555555….5 =5 ↑n
No primeiro caso, o número 333, repete 3 vezes o dígito 3, no segundo caso o 777 777 777 , repete nove vezes o dígito 7 e no terceiro caso o dígito 5 repete-se "n" vezes.
Suponhamos agora que tinhamos de trabalhar com o número 2 6 666 666 666 666 666 666 4 , ou por exemplo com o número
3 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 8.
A forma que proponho para representar esses números, seria no primeiro caso,
2(6↑19)4
e no segundo caso
3(9↑39)8
Que é o mesmo que dizer que no primeiro caso o número é constituido por um dois, seguido de dezanove seis e termina em quatro. No segundo caso o número é constituido por um três, seguido de trinta e nove, noves e termina em 8.
Permitam-me neste ponto fazer algumas considerações sobre o carécter "dimensional" que estes números possuem e na sua "provável" importância quando utilizados por exemplo em programação computacional . A ideia é de resto bastante simples. Um determinado conceito pode ter uma amplitude que a linguagem binária não "compreende" dado que apenas "gere" dicotomias simples tipo "sim" e "não" ; "ligado" e "apagado" em última análise "zeros" e "uns" que se combinam e recombinam em "infinitas" operações processadas por modernos computadores em fracções de segundo.
Suponhamos que queremos atribuir ao conceito "Não" uma certa dimensão. Se eu disser por exemplo Não = 6, continuarei a estar dentro do conceito se disser Não = 6666666. De igual modo estarei dentro do conceito se disser Não = 66666666666666. Esta amplitude que decorre da quantidade de vezes que o dígito 6 se repete, permite ao "computador" "compreender" se o meu Não é de quem está por exemplo, pouco "zangado"(6); um bocadinho zangado(6666666) ou muito zangado( 6↑14), originando por parte do "sistema IA" uma resposta em conformidade do género, ok, tá certo = (6) ...e que culpa tenho eu = 6666666 ou ainda ....vai mas é chatear a tua tia = (6↑14) criando desta forma a "falsa ilusão" de um "bate-papo" entre Homem e Máquina.
Perdoem-me este pequeno devaneio, mas talvez volte a este tema mais tarde.
Logo a seguir à demonstração da conjectura de Goldbach.
até já
Bom ... Este é o tipo de leitura que os estudantes gostariam de ler; ao invés disso estão enfiando 'moral' e respeito' putrificado em 'formato' teológico; e todos, todos, estão quietinhos como bonequinhos parvos (porque também os teólogos se apropriaram ávidos por psicologia, sociologia, hipnose, pela ânsia da vigarice,etc) avolumando o derrape inteiro da nossa civilização.
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