o que são números primos ?

Pouco depois de uma criança aprender a multiplicar e a dividir, ela nota que alguns números são "especiais". Quando um número é factorizado, é decomposto nos seus constituintes básicos - os factores primos.
Assim, o número 6 = 2 x 3; o número 28= 2 x 2 x 7; o número 270= 2 x 3 x 3 x 5

e estas decomposições não podem ser simplificadas. Os números 2, 3, 5, 7,.... são números primos, ou seja, não podem ser decompostos em produtos de números menores.
Entre os inteiros, os números primos desempenham um papel que é análogo ao dos elementos em química.
Façamos agora uma lista dos primeiros números primos :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, (...)

Há cerca de 2300 anos , na proposição 20 do livro lX dos seus Elementos , Euclides apresentou uma demonstração de que a quantidade de números primos é inesgotável. A sua demonstração, fácil e elegante diz-nos o seguinte:

“Suponhamos que temos uma lista completa de todos os números primos ate pn . Considere-se o inteiro N = (2*3*5*7*.......pn ) +1 , formado pela adição de 1 ao produto de todos os números primos até pn .
N , é maior do que pn (pois é de certeza mais do dobro). Quando N é dividido por 2 , o resultado é 3*5*7*.....pn sendo o resto 1. Quando dividido por 3 o resultado é 2*5*7*...pn , sendo o resto novamente 1 . De modo semelhante , quando dividido por qualquer dos números primos 2,3,5,7,...pn , o resto é sempre 1.
Contudo , N é ou não um número primo ? Se for primo é maior do que pn . Se não for primo então pode ser factorizado em números primos . No entanto como acabamos de verificar , nenhum dos seus factores pode ser 2,3,5,7,....pn , logo tem de existir um número primo maior do que pn.

Um outro facto ainda mais surpreendente é a ausência de qualquer padrão ou regularidade aparentes.
Nesta demonstração que vamos iniciar, sempre que nos referirmos a um qualquer número primo, utilizamos a letra p

Assim, a conjectura de Goldbach, tal como se encontra enunciada afirma que

p + p = 2.n , (que é o mesmo que 2p = 2n , se p = p ) , e p + p1 = 2 n ( se p diferente de p1) e onde n representa um certo número inteiro. Vejamos o exemplo que se segue :

7 + 7 = 14 = 2 x 7; e 7 + 13 = 20 = 2 x 10 .
Se substituirmos os termos da equação pela fórmula, observamos que para p=7, o valor de n é igual a 7; (2 x 7 = 14) e para p=7 e p1=13, o valor de n é igual a 10 . (2 x 10 = 20 = 7 + 13) .

2.n é uma fórmula comum que apenas produz números pares. Se multiplicarmos 2 por qualquer inteiro o resultado será sempre um número par. Assim, ao considerarmos que a Conjectura é verdadeira, poderiamos afirmar que para qualquer soma obtida a partir de p + p ou de p + p1 o resultado que obtivermos terá que ser igual a um certo 2.n que é como vimos um certo número par. Ou seja, o mesmo argumento da conjectura dito de outra forma.

A partir da lista dos primeiros números primos , podemos testar alguns deles no âmbito da Conjectura: Vejamos :

13 + 17 = 30
30= 2.15
n=15

61 + 61 = 122
122=2.61
n=61

e assim sucessivamente para qualquer combinação que queiramos de p, que é o mesmo que dizer, para qualquer "emparelhamento" de números primos.

Conforme referi na minha introdução , estes "resultados" parecem de facto dar razão ao enunciado da Conjectura. Mas desenganem-se meus amigos. A Conjectura é falsa como teremos oportunidade de verificar. Não funciona a partir de números pares suficientemente grandes.

No próximo post.vamos aprender como encontrar números primos, através de uma técnica "inédita" da qual resulta um critério assente em duas permissas :
"condição necessária e suficiente" vs "condição necessária mas não suficiente".

Até já