sábado, 28 de fevereiro de 2009

O Arquitecto XPTO - II

Ora acontece que os resultados a que havia chegado não eram ainda suficientes para poder tirar conclusões definitivas.Com efeito, nada lhe garantia que de facto os últimos pisos do edifício pudessem ter uma tão baixa percentagem de mulheres de vestido vermelho e casaco branco. Por outro lado, dera-se conta que o seu edifício corria sérios riscos de nunca vir a ser acabado, porque como concluira anteriormente, por cada piso terminado, outro ainda maior lhe sucedia.
Havia contudo, alguns dados que tinha como certos. O número de mulheres era igual ao número de homens, e sabia também que cada um deles tinha um número de B.I. específico sendo por isso "fácil" diferenciar as mulheres dos homens. Podia ainda determinar com rigor a quantidade de mulheres com vestido vermelho e casaco branco bastando para isso ir de piso em piso fazer essa contagem e anotar os resultados para depois os somar.

Entretanto o edifício ia já atingindo uma altura considerável e o número de pessoas alojadas era cada vez maior, sendo como consequência cada vez mais dificil e mais moroso ao nosso arquitecto andar de piso em piso a fazer contagens e a anotar os resultados.

Certa vez, XPTO, o arquitecto da nossa história, lamentou-se à entrada do edificio da dificuldade que estava a ter em encontrar "primas" sobretudo nos pisos mais altos. Deve de haver um método mais simples e mais eficaz de as encontrar pensava ele desanimado e cabisbaixo. A porteira apercebendo-se do desânimo do nosso personagem, e sabendo das suas consumições, abeirou-se dele e disse-lhe :
- " porque é que o sr. arquitecto, em vez de andar de piso em piso a tomar notas, não reune todos os bilhetes de identidade e em função dos respectivos números toma as notas necessárias ao seu estudo ?
Esta parecia-lhe ser de facto uma boa ideia. Mas por outro lado como é que iria fazer para recolher novamente todos os B.I's ?.
Simples, disseram em uníssuno as mulheres 2,3 e 5. Manda-se evacuar o edificio.

Excelente ideia. Assim aproveitaria também para introduzir algumas correcções ao desenho inicial, coisa que obviamente não poderia fazer com as pessoas alojadas.

Então , com a ajuda das mulheres 1,2,3 e 5, organizou vários grupos de 30 pessoas, onde cada um desses grupos era composto por 15 homens e 15 mulheres. Para entrar no edifício, cada grupo iria ter de passar por uma porta giratória entretanto construida à entrada do edificio ( semelhante às que se usam nos estádios de futebol ). Na extremidade dessa porta, a porteira entregaria novamente a cada pessoa o respectivo B.I.

Assim que deu início a esta operação, o sr. arquitecto estava particularmente atento à entrada das mulheres "primas" e foi anotando pacientemente todas as que ia encontrando em cada grupo de 30 pessoas. Não iria considerar as "primas" 2,3 e 5 por pertencerem digamos que ...ao staff e também porque as poderia adicionar em qualquer momento aos resultados que vinha anotando.

Observou logo no primeiro grupo de 30 pessoas que as "primas" iam aparecendo segundo um padrão "quase" regular e cíclico. Se começasse a contar as "primas" iniciando a sua contagem na porteira com o B.I.(1),e "esquecendo" as primas 2,3 e 5, seis pessoas depois aparecia outra "prima" com o B.I.(7), a seguir ,após a passagem de mais quatro pessoas, surgia uma outra "prima" com o B.I.(11) , depois duas pessoas mais e uma nova "prima" com o B.I.(13), quatro pessoas mais e aparecia a "prima" (17), duas pessoas mais a "prima"(19), quatro pessoas mais a(23) e por fim,seis pessoas depois a prima (29) que eram todas as primas que existiam nesse primeiro grupo de 30 pessoas, sem contar claro está com as primas 2,3 e 5.

De facto, quando o segundo grupo de 30 pessoas começou a entrar no edificio o padrão parecia repetir-se. a prima(31)+ 6 pessoas = prima(37) + 4 pessoas = prima (41) + 2 pessoas = prima (43) + 4 pessoas = prima (47) +2 pessoas = prima(49)+4 pessoas = prima (53) + 6 pessoas = prima (59).

O que o nosso arquitecto classificara como padrão para o aparecimento de "primas", não era nem mais nem menos do que uma sequência de somas regulares e ciclicas. 1+6+4+2+4+2+4+6, para o primeiro grupo de 30 pessoas.
1+6+4+2+4+2+4+6, 2+6+4+2+4+2+4+6, para os dois primeiros grupos de 30 pessoas, e assim sucessivamente para todos os grupos de 30 pessoas que iam entrando no edificio.

A seguir a esta constatação, foi ver ao seu bloco de apontamentos quantos grupos de 30 pessoas poderia alojar em cada piso, sabendo ele que por cada grupo existiriam 8 mulheres "primas".
Não podia estar mais enganado a este respeito.
A porteira que era uma mulher atenta, apercebeu-se que no segundo grupo de 30 pessoas havia entrado uma mulher que se estava a fazer "passar" por prima. E tratou logo de informar o sr. Arquitecto XPTO, segredando-lhe ao ouvido que a mulher com o B.I. (49) não era prima.
Não pode ser, exclamou o arquitecto.
-Pode sim senhor, disse a mulher porteira. Quer ver ? e pedindo emprestado o bloco de apontamentos do sr. arquitecto, escrevinhou uma conta que depois lhe mostrou,7 x 7 = 49.
Ora, acontecera que a porteira havia observado no desempenho das suas funções que os números dos B.I’s das mulheres primas, possuíam uma característica única relativamente a todos os outros . Eram números que só eram divisíveis por 1 e por si próprios. O problema estranho que encontrei sr. Arquitecto – disse ela - é que no segundo grupo de 30 pessoas que entraram no edifício, a mulher 49 fez-se passar por prima, mas no terceiro grupo de 30 pessoas , encontrei outra. A mulher 77 = 7 x 11 e no quarto grupo encontrei ainda mais duas . A mulher 91 = 7 x 13 e a mulher 119 = 7 x 17.
Quer dizer então que as mulheres “primas” 1+6+4+2+4+2+4+6+(…), não são afinal de contas todas elas primas ? Mas que grande maçada – Comentou o arquitecto. E agora ?
Retirou-se para um canto e pôs-se a pensar . Passados alguns instantes chamou o resto do seu pessoal , as mulheres 2,3 e 5 e disse-lhes : Em vez de um casaco branco, por cima do vestido vermelho, todas as mulheres que encontrarem que sejam “falsas primas” , deverão vestir um casaco verde.
A seguir , quero também que por cada piso juntem as respectivas pessoas não por ordem mas sim em função da cor da roupa que trazem vestida. Para isso, dividem cada piso em duas partes iguais. De um dos lados ficam as mulheres e do outro os homens. - Continuando disse –No lado que pertencer às mulheres quero ainda que criem três zonas distintas entre si . Uma primeira zona destinada às mulheres primas , outra destinada às mulheres que são falsas primas e por fim, a terceira zona será destinada a todas as restantes mulheres . Por último , ordenou : “Nesta fase , só quero que instalem as pessoas necessárias até “enchermos” o terceiro piso.
E dizendo isto retirou-se apressadamente com o bloco de notas na mão.

(Continua )

sábado, 21 de fevereiro de 2009

O Arquitecto XPTO - I

Antes mesmo de continuarmos a demonstrar a Conjectura de Goldbach, Hoje trago-vos uma pequena narrativa que se inspira na própria conjectura e que vai certamente constituir um forte argumento de reflexão apelando em simultâneo à capacidade imaginativa do leitor. Sugiro que vão tomando notas.

Começa assim :
Certo dia, o sr Arquitecto XPTO, resolveu dar inicio a um projecto megalómano que consistia basicamente em construir aquele que seria (segundo ele )o maior edifício do mundo.
Assim, conjecturou ainda na fase do esboço que o último piso do seu edifício haveria de ter uma área que fosse exactamente igual a 10ⁿ m2.
Definiu então para si mesmo e como primeira regra, que o primeiro piso a ser construido iria ter a área de 10²m², o segundo piso 10³ m², o terceiro piso de 10⁴ m² e assim sucessivamente até ao topo.

Observou que seguindo este critério ,o edifício depois de desenhado no papel se assemelhava a uma espécie de pirâmide invertida, tendo levado em consideração nesse desenho questões relacionadas entre outros factores com a estética ( simetria ).

Ora, acontece que o arquitecto da nossa história calculou o espaço de cada um destes pisos para albergar precisamente uma pessoa por metro quadrado. Assim , segundo os seus cálculos, no primeiro piso alojaria 10 pessoas, no segundo piso 100 pessoas, no terceiro piso 1000 pessoas , no quarto piso 10 000 e assim sucessivamente até ao último piso.

Quando a obra se encontrava já numa fase bastante avançada de construção ( tinham já começado a construir o piso 10 ⁽ⁿ⁻¹⁾,o Sr. Arquitecto XPTO, deu-se conta que nunca iria conseguir terminar aquela construção, pois por cada piso terminado, outro maior lhe sucedia.
Assim ,e mesmo com a obra a decorrer , resolveu começar a deixar entrar todas as pessoas em número exactamente igual às areas construidas deixando claro que a ocupação dos pisos deveria de ser feita a partir do primeiro e só depois de estar completo, deveriam ocupar o segundo, o terceiro, o quarto (...) até ao último piso entretanto construido e acabado.

E disse mais , para que tudo se passasse de forma organizada e ordeira, seria atribuido à entrada e por cada um dos ocupantes um número que funcionaria como uma espécie de Bilhete de identidade pessoal e intransmissível.Os homens ficariam com bilhetes de identidade cujo número fosse par, e as mulheres com os B.I's ímpares.

Determinou também que a primeira pessoa(1) ficasse como porteira do edificio sendo assessorada nessa tarefa unicamente pela segunda(2),terceira(3) e quinta(5) mulher.

E foi a pessoa número 1, com o bilhete de identidade número 1, que ficou incumbida pelo sr. Arquitecto de ir distribuindo os bilhetes de identidade por todas as outras pessoas à medida que estas iam entrando no edificio.

Quando por fim essa tarefa ficou concluida e já todas as pessoas tinham entrado e se tinham instalado cómodamente no m2 que lhes havia sido destinado até ao piso 10⁽ⁿ⁻²⁾, o nosso simpático arquitecto resolveu comemorar esse feito organizando uma grande festa com direito a baile e tudo.

A única condição que impôs era que as pessoas se vestissem impecavelmente e com roupas de côr diferente que ele próprio escolheria, de forma a que lhe pudesse ser possível diferenciar uns dos outros.Assim , as mulheres que tinham números de bilhete de identidade ímpares iriam usar um vestido vermelho e os homens com números de B.I pares usariam um fato azul.
defeniu em simultâneo um conjunto de regras com o propósito de estudar o comportamento social das pessoas , seja individual ou seja colectivamente. Quer as pessoas alvo do estudo estivessem alojadas num piso específico, quer , por extrapolação, estivessem alojadas num determinado conjunto de pisos ou/e em última análise todas as pessoas do edifício, independentemente de o último dos pisos poder estar ou não ainda em fase de conclusão.

Assim que o baile começou, o nosso anfitrião, o arquitecto XPTO, percorreu cada um dos pisos com um bloco de notas na mão onde ia anotando o comportamento de cada um dos convivas e logo no primeiro piso deparou-se com uma situação algo insólita. "Algumas" das mulheres não dançavam com nenhum dos homens presentes,optando por dançar unicamente enre si.Intrigado, abeirou-se de uma delas e perguntou porque razão é que não dançavam com outros homens, ao que ela respondeu :
- " ...é que nós somos primas. E não nos misturamos com mais ninguém.".
No piso imediatamente a seguir, observou o mesmo fenómeno, e no piso a seguir igual e no piso a seguir igual (...) tendo concluido que existiam em todos os pisos "primas" que apenas dançavam entre si.

Resolveu então contar quantas "primas" havia em cada um dos pisos para depois de somar os números que fosse anotando, ficaria a saber quantas primas existiriam ao todo no edificio.
Para que lhe fosse mais fácil fazer a contagem ordenou às "primas" que vestissem por cima do vestido vermelho um casaco branco, tendo encarregue a porteira de distribuir os referidos casacos por todas as "primas".

feita a distribuição de casacos brancos , o nosso arquitecto recomeçou então a contagem a partir do primeiro piso. Em 10 pessoas, encontrou 4 casacos brancos que por coincidência pertenciam as mulheres com os B.I. 2,3,5,7. Das quais as mulheres 2,3 e 5 tinham ficado incumbidas de auxiliar no que fosse preciso a porteira que era a mulher 1,

No segundo piso encontrou 21 mulheres com casaco branco. No terceiro piso 143. Resolveu logo aqui fazer uma primeira análise aos resultados recolhidos e verificou que sempre que ia subindo um piso, a proporção entre as mulheres que tinham casacos brancos e as que não tinham ia ficando menor, tendo concluido que a continuar assim, nos últimos pisos do edificio deveriam de haver pouquissimas mulheres de casaco branco.Observou que no limite, a percentagem de mulheres com casaco branco em relação aos homens e mulheres desse piso deveria de ser praticamente igual a 1%.

(continua )

sexta-feira, 20 de fevereiro de 2009

Reflexões

Se,

N = [#{p}= π(n) ] + # {Fp} + # {Np}

então para n ≥ 2 :

N = 10 ⁿ - 10, → [#{p}= π(10 ⁿ - 10) ] = N - [# {Fp} + # {Np}]

Se

10 ⁿ - 10 / 30 = 3↑(n-1) → 3↑(n-1) . 8 (= 1∫α) = 24 + 240 + 2400 + 24000 + ...

então para n ≥ 3

24 + 240 + 2400 + 24000 + 240000 + ... = 2(6↑(n-3)4

vejamos:
10³-10 = 990 → 990/30 = 33 →33 x 8 = 264 → 264 = 24 + 240
10⁴ - 10 = 9990 → 9990/30 = 333 → 333 . 8 = 2664 → 2664= 24+240+2400

então se :

1∫α = 8 (p ^ Fp) → 10 ⁿ - 10 ) 3 ↑(n-1) ∫α → (10 ⁿ - 10) - 3 ↑(n-1)∫α = Np

logo :

Np ) 10 ⁿ - 10 = 3 ↑(n-1) . 8 . 2,75

Se:

(10 ⁿ - 10) produz 3 ↑(n-1)sa
1 sa = 1 + 6 =7 + 4 =11 + 2 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 6 = 29
2 sa = 1,7,11,13,17,19,23,29 - 31,37,41,43,47,49,53,59
3 .∫α = 1,7,11,13,17,19,23,29 - 31,37,41,43,47,49,53,59 - 61,67,71,73,77,79,83,89
(...)
n .∫α = (n.30) +1 + 6 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 6

Logo :
3↑ ( n-1) 1.∫α(=8) . 3,75 = 10 ⁿ - 10

Podemos verificar que :

10 ⁿ - 10 / 2 = 2 . [4(9↑(n-2))5 ] números pares e ímpares .

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situemo-nos :

1 - 0 + 1+2+3+4+5+6+7+8+9
2 - 10 + 11 +22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99
3 - 10² +111+222+333+444+555+666+777+888+999
4 - 10³ +1↑4+2↑4+3↑4+4↑4+5↑4+6↑4+7↑4+8↑4+9↑4
5 - 10⁴ +1↑5+2↑5+3↑5+4↑5+5↑5+6↑5+7↑5+8↑5+9↑5
6 - 10⁵ +1↑6+2↑6+3↑6+4↑6+5↑6+6↑6+7↑6+8↑6+9↑6
(...)
∞-1 - 10ⁿ + 1↑(n+1)+ (...)

Esta tabela, possui caracteristicas interessantes ( recordo-vos o conceito de dimensionalidade ) que nos permitirá , no âmbito da demonstração da nossa conjectura ir agrupando os números primos à medida que forem sendo produzidos por π(10 ⁿ - 10).

Por hoje fico mesmo por aqui

Até Já

quinta-feira, 19 de fevereiro de 2009

Ao longo dos textos que foram sendo publicados neste blog, existem algumas questões que gostaria de deixar mais bem esclarecidas na medida em que representam ângulos de abordagem senão novos, pelo menos diferentes daquilo a que supostamente estariamos habituados.
1 - p;Fp;Np- São noções que aqui nos aparecem devidamente contextualizadas. Servem um propósito específico e podem facilmente ser assimiláveis pelo mais comum dos leitores. A defenição matemática de um "Falso primo" por exemplo é uma defenição bastante diferente daquela que aqui foi atribuida. Mas será esse facto razão suficiente para inviabilizar um determinado raciocínio matemático ? Não me parece.

2 - somas alfa - Este é também um conceito ( novo ) que surge numa linha de raciocínio orientado num sentido previamente defenido. È conhecida a aversão de alguns puristas a notações novas, ou mesmo a ideias que possam beliscar a "integridade" intelectual do feudo matemático, onde alguns desses puristas vão habilmente escudando a mediocridade dos seus intelectos. O facto é que não faço nenhuma questão de que a este procedimento de ir somando números específicos se possa chamar de "somas alfa". O que de facto é importante é que funcione e disso meus caros, não temos dúvidas, é de resto, extremamente simples fazer-se a verificação. Ofereço um Euro ( à boa maneira de Paul Erdish ) a quem encontrar falácias no raciocínio.

Por hoje é só

Até Já

terça-feira, 17 de fevereiro de 2009

Números que repetem os dígitos

Conforme vimos anteriormente, o Teorema dos números primos ( que foi provado ) diz básicamente que se escolhermos um número "X" ao acaso entre 0 e n, com n grande, a probabilidade de "X" ser primo é de "cerca" de 1/log n .

Quanto maior for n, melhor será a aproximação dada por 1/log n à proporção de números primos até n . Como vimos também, essa "proporção" ( que também pode ser obtida a partir da aplicação da função π(n) ) tende para 1 se n tende para infinito , o que em termos práticos equivale a dizer que à medida que n aumenta, a quantidade (proporção, fracção...) de números primos decresce , tornando-se cada vez mais escassa .

Embora a expressão n/log n seja uma aproximação bastante simples para π(n), não é particularmente boa. Uma das aproximações mais satisfatórias é-nos dada pela fórmula :


R(n) = 1 + ∑ 1 / k ζ (k+1) . (log n) / k !
onde ζ(z) representa a célebre função zeta de Riemann:
ζ(z) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....
( todos os denominadores tem expoente (z) )
Vejamos alguns cálculos comparativos para :
n = 100 000 000 - π(n) = 5 761 455 e R(n) = 5 761 552
n = 200 000 000 - π(n) = 11 078 937 e R(n) = 11 079 090
n = 300 000 000 - π(n) = 16 252 325 e R(n) = 16 252 355
n = 400 000 000 - π(n) = 21 336 326 e R(n) = 21 336 185
n = 500 000 000 - π(n) = 26 355 867 e R(n) = 26 355 517
"Destrocando"isto por "miúdos", que é como quem diz, utilizando uma linguagem mais informal, observamos que a "proporção" de números primos encontrados até por exemplo, 100 000 000, é, por aplicação directa da função π(n), (que dá suporte ao teorema dos números primos), igual a 5 761 455, enquanto que R(n) nos diz que a quantidade de números primos até 100 000 000 é igual a 5 761 552. Neste caso, uma diferença entre cálculos de apenas 97 números primos.
Ora, no contexto da Conjectura de Goldbach, estas ligeiras diferenças de resultados são como é óbvio, de uma importância extrema. Esses 97 números primos não foram "detectados" em π(n) , integram um universo maior de números primos que deveremos naturalmente considerar no âmbito da demonstração que temos vindo a perseguir.
Por outro lado, R(n) é tão somente uma "aproximação" mais satisfatória. Nada nos garante que um qualquer número primo possa eventualmente ficar de fora nesta "espécie" de crivos, tenham eles a forma π(n);R(n); ou qualquer outra que entretanto possa vir a ser descoberta .
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Um número, seja ele qual for, fornece-nos vários tipos de informação.
Desde logo e numa análise cognitiva básica, o conceito inerente ao próprio número.
Vejamos por exemplo o número 4.
Tem um aspecto gráfico específico que o distingue de qualquer outro número. È também um número que se "situa" no "espaço" entre o 3 e o 5, se nos detivermos numa análise "posicional" . Escreve-se com apenas um dígito sendo esta uma característica comum a todos os números de 0 a 9. Ora, é legítimo elencar um conjunto de critérios como acabamos de fazer para o número 4 e extrapolar esses critérios de análise usando-os em qualquer outro número que escolhermos.
O 6528371 é por exemplo um número com 7 dígitos ; termina em 1; não tem quatros, noves e zeros; (....)
Assim, o critério que vamos agora introduzir e que serve o nosso propósito específico de demonstração da Conjectura, refere-se aos números constituidos unicamente por dígitos que se repetem, como por exemplo :
111111;
11111111111111111111 ;
111111111111111111111111111(...)1.
A única referência que li relativamente a este "tipo" de números é neste caso particular de "uns", que se chamam de "repunit". Ou seja, números que repetem a unidade.
Como parece óbvio, podemos estender o conceito a qualquer outro número de 0 a n , dado que iremos trabalhar com números cujos dígitos se irão repetir n vezes.
Sugiro apenas por uma questão de facilidade de escrita e em detrimento de outra solução como por exemplo a utilização de potenciação , a seguinte notação:
Por exemplo :
333 = 3↑3
777777777 = 7↑9
555555….5 =5 ↑n
No primeiro caso, o número 333, repete 3 vezes o dígito 3, no segundo caso o 777 777 777 , repete nove vezes o dígito 7 e no terceiro caso o dígito 5 repete-se "n" vezes.
Suponhamos agora que tinhamos de trabalhar com o número 2 6 666 666 666 666 666 666 4 , ou por exemplo com o número
3 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 8.
A forma que proponho para representar esses números, seria no primeiro caso,
2(6↑19)4
e no segundo caso
3(9↑39)8
Que é o mesmo que dizer que no primeiro caso o número é constituido por um dois, seguido de dezanove seis e termina em quatro. No segundo caso o número é constituido por um três, seguido de trinta e nove, noves e termina em 8.
Permitam-me neste ponto fazer algumas considerações sobre o carécter "dimensional" que estes números possuem e na sua "provável" importância quando utilizados por exemplo em programação computacional . A ideia é de resto bastante simples. Um determinado conceito pode ter uma amplitude que a linguagem binária não "compreende" dado que apenas "gere" dicotomias simples tipo "sim" e "não" ; "ligado" e "apagado" em última análise "zeros" e "uns" que se combinam e recombinam em "infinitas" operações processadas por modernos computadores em fracções de segundo.
Suponhamos que queremos atribuir ao conceito "Não" uma certa dimensão. Se eu disser por exemplo Não = 6, continuarei a estar dentro do conceito se disser Não = 6666666. De igual modo estarei dentro do conceito se disser Não = 66666666666666. Esta amplitude que decorre da quantidade de vezes que o dígito 6 se repete, permite ao "computador" "compreender" se o meu Não é de quem está por exemplo, pouco "zangado"(6); um bocadinho zangado(6666666) ou muito zangado( 6↑14), originando por parte do "sistema IA" uma resposta em conformidade do género, ok, tá certo = (6) ...e que culpa tenho eu = 6666666 ou ainda ....vai mas é chatear a tua tia = (6↑14) criando desta forma a "falsa ilusão" de um "bate-papo" entre Homem e Máquina.
Perdoem-me este pequeno devaneio, mas talvez volte a este tema mais tarde.
Logo a seguir à demonstração da conjectura de Goldbach.
até já

terça-feira, 10 de fevereiro de 2009

primos gémeos; Teorema dos números primos

Parte 1 -

Existirão infinitos pares de números primos cuja diferença entre eles seja 2, como por exemplo 11;13 ou 17;19; ou 10006427;10006429 ?
Ninguém sabe a resposta embora a maioria dos matemáticos estejam convencidos de que muito provavelmente é afirmativa.
Este não é um assunto que me inspire particularmente nem sequer será útil a esta demonstração da Conjectura de Goldbach. Só o refiro aqui por se tratar de uma "curiosidade" específica atribuida a alguns números primos a que se convencionou de chamar números primos gémeos.
Entendo que estes p+2 = p1 ( primos gémeos ) são como que uma espécie de contingência natural. Existe uma infinidade de outras questões que de igual forma se podem de imediato colocar, como por exemplo quantos pares de números primos existem cuja diferença entre eles seja 4 como por exemplo 7;11 ou 19;23 ou em última análise p + 4 = p1 ?
O que chamaríamos a estes pares de números primos ? E se a diferença fosse 8 ? como por exemplo 11;19 ?

Ainda em relação aos primos gémeos, e para concluir este apontamento, a única generalização que me ocorre fazer é a de que (p1) -1 / 6 = n, ou se preferirem p+1/6 = n, é uma condição necessária. Por outras palavras se p + 2 = p1, então p+1 = (p1) - 1, é sempre divisível por 6. Nos exemplos com que introduzimos este post, podemos verificar que:
(11+1)=(13-1) = 12 = 2 x 6 ; (17+1)=(19-1)=18 = 3 x 6 ;
(10006427+1)=(10006429-1)=10006428 = 1667738 x 6

Parte 2 -

A descoberta do Teorema dos números primos deve ser atribuida, segundo alguns historiadores, a Carl Friedrich Gauss (1792) com apenas 15 anos de idade. Só em 1896, graças aos trabalhos independentes de C. de La Vallée Poussin e de Jacques Hadamard, foi possível a prova matemática rigorosa deste teorema.
A Função π(n) é definida como representando o número de números primos menores ou iguais a n
Na realidade esta função quantifica a distribuição dos números primos sendo portanto natural que a partir dela calculemos a razão entre n e π(n). Ou seja, qual a fracção de números primos até n.
Vejamos o resultado de um cálculo recente:

n;π(n);n/π(n)
10... 4... 2,5
100...25...4,0
1000...168...6,0
10000...1229...8,1
100000...9592...10,4
1000000...78 498...12,7
10000000...664 579...15,0
100000000...5 761 455...17,4
1000000000...50 847 534...19,7
10000000000...455 052 512...22,0

Note-se que quando avançamos de uma potência de 10 para a seguinte, a razão n/π(n), aumenta aproximadamente 2,3.
Por exemplo, 22,0 - 19,7 = 2,3

Ora, sabendo nós que o logaritmo natural de 10 ( =2,30258....), é natural que se formule a conjectura de que a função π(n) será aproximadamente igual a n / log n.
Na realidade esta é a afirmação mais formal de que:
lim π(n) / (n/log n ) = 1
ⁿ→∞
Dito de outra forma, no limite ( lim ) quando n tende para o infinito,( ⁿ→∞), a função π(n) , quando dividida pela razão n/log n , será igual a 1.

Esta poderia ser uma boa altura para vos falar da função zeta de Riemann, mas reconheço que me distanciei um pouco do tal rumo conceptual amplo e abrangente que referi na introdução deste blog. Por outro lado admito que à medida que formos entrando numa "linguagem" mais "técnica" e mais consentânea com os pergaminhos da disciplina , o "assunto" pode vir a tornar-se um pouco mais denso e até maçudo.Tentarei no meu próximo "post" utilizar um estilo de linguagem mais coloquial ( se é que se pode dizer assim ). Ou como diria Lagrange: " ...demonstração deve ser algo que possas explicar ao primeiro homem que encontres na rua"

até já

linguagem formal

Considerando que o leitor foi "interiorizando" as noções que aqui foram sendo produzidas, diria que temos agora uma "ferramenta" de trabalho bastante útil na medida em que nos permite estabelecer à priori alguns critérios relacionados com números primos, nomeadamente os que se prendem com a "condição necessária" a que estes números devem de obedecer, e em bom rigor, obedecem. È lógico que para uma abordagem "consistente" da "Conjectura de Goldbach" que aqui nos propusemos demonstrar, é fundamental compreendermos profundamente a natureza do desafio que enfrentamos. Compreender, identificar, manipular, números primos será apenas um dos muitos aspectos a serem considerados nesta demonstração.
Façamos agora uma pequena resenha das principais ideias que fomos expondo :

1 - Vimos que o quadro de 6 linhas por n colunas nos conduziu à identificação das linhas "A" e "E" como sendo as únicas que continham números primos. Em linguagem formal :

p ۸ Fp ( ± 1 + n.6

p = primo ; ۸ = e ; Fp = falso primo; ( = está contido ; ) = contém ; ± = mais ou menos...

Vimos também que :

n . 30 ± 1 ) n . 8 (p ٨ Fp) + n . 22 ± 1 Np
e que :

1∫α = 8 (p ٨ Fp)

∫α = soma alfa = procedimento (...+6+4+2+4+2+4+6+2)

Ora, sabendo nós o que define um número par, saberemos certamente calcular quantos números pares existem num determinado grupo de 30 números inteiros consecutivos, que seja múltiplo de 30 .
Se 30/2 = 15 então n.30/2 = n.15
Se 2.30=60 então 60/2 = 2.15
Esta questão parece-me pacífica, é aliás um dos conceitos mais básicos que nos acompanha desde a escola primária. Como consequência o mesmo raciocínio se aplica aos números que são ímpares.

Para finalizar por hoje e porque não me esqueci das construções geométricas que mencionei na lição anterior, deixo-vos aqui uma sugestão :
1 - Com um compasso desenhem uma circunferência.
2- Dividam a circunferência em 8 partes iguais.
3 - No ponto da circunferência "virado a norte" assinalam na parte interior o número 1 e na parte exterior o número 2.
4- preencham os restantes pontos com a sequência de números que o procedimento ∫α nos indica ( ...+6+4+2+4+2+4+6)
5- façam passar por cada um dos 8 pontos um segmento de reta com origem no centro da circunferência.
6 - Assinalem junto a cada um dos 8 segmentos de reta os números que vão encontrando.
7 - Observem o comportamento e o posicionamento de p² ( p² apenas termina em 1 ou em 9 )
8 - Para os mais experientes, verifiquem o posicionamento dos primos de Fermat e de Mersenne.

Por último e se isso vos der prazer, construam 2 circunferências, assinalem os números referidos e imaginem que ambas as circunferências rodam em sentidos opostos. Somem os números que forem sendo interceptados num único ponto previamente escolhido.
Informo os mais impacientes de que estamos a aproximadamente 5 lições de concluir a demonstração da conjectura de Goldbach, entretanto, divirtam-se,

Até já

segunda-feira, 9 de fevereiro de 2009

primos (p);não primos(Np) e falsos primos(Fp)

Números primos(p) ; não primos (Np); e falsos primos (Fp)

Começamos este post, relembrando algumas das ideias base que aprendemos anteriormente. Partindo de um quadro de 6 linhas por "n" colunas ( Matriz ), construimos uma linha ( associada ao conceito matemático de Matriz, a qual designamos por Vector) e que integra todos os números primos ( p) que existem se para isso fizermos "crescer" esse Vector até ao mais remoto número que escolhermos.
Sabemos e podemos afirmar agora que um qualquer número, para ser primo (p) terá obrigatoriamente de estar inscrito algures neste Vector, sendo portanto esta, uma condição necessária à primalidade de um qualquer número. No entanto, se por um lado é uma condição necessária, não é , todavia, suficiente como iremos ver de seguida.

Vamos agora voltar a reescrever, segundo o procedimento ( já testado ) que utilizamos na construção do Vector, todos os números que obtivermos a partir da aplicação do procedimento a que convencionamos anteriormente chamar de "soma alfa":

Assim , a aplicação do procedimento,

1+6+4+2+4+2+4+6+2+6+4+2+4+2+4+6+2+6+4+2+4+2+4+6+2+(...)

dá-nos respectivamente o seguinte resultado :

1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61,67,71,73,77,79,83,89,91,(...)


Da aplicação regular e cíclica destas somas ( somas alfa ) listamos 25 números que, como é fácil de constatar, integram neste caso particular um conjunto de 3.30+1=91 números. Verificamos que todos os números primos menores que n.30+1 se encontram aqui representados excepto os números 2,3 e 5 .

Nesta sequência de números, vão-nos surgir alguns que lamentavelmente ( digo eu ) não são primos. É o caso do 49=7.7;o número 77=7.11 e o próprio 91=7.13.

Ora, estes números ( 49,77,91) que nos aparecem ao longo do nosso vector apresentam uma característica única que os diferencia neste contexto de todos os outros números que temos vindo a estudar. Tratam-se de números que são exclusivamente produto de números primos. E à medida que formos avançando ao longo do Vector encontraremos não só estes números que são produto de números primos, mas também números que são, produto do produto de números primos. Este facto ( igualmente testado em números com 5 , 8 e 10 dígitos que integram o Vector ) permite-nos "tropeçar" ( se é que a expressão me é permitida ) em números como por exemplo : 7 x 13 x 13 = 1183 ; 17 x 19 x 23 = 7429 ; 11 x 11 x 11 x 11=14641 ou tão simplesmente em números que são quadrados de p como é o caso de 49=7.7 ; 121=11.11; 169=13.13 (...)

Antes mesmo de continuar com outras considerações sobre esta particularidade específica detetada em números que integram conjuntamente com os números primos, o Vector, podemos dizer que estes números que são produtos de primos nos criam a "ilusão" de poderem ser primos. Digamos que uma espécie de Falsos Primos ( Fp ). Ora, significa tudo isto dizer que, em cada grupo de 30 números inteiros consecutivos, existem 8 e apenas 8 que reunem condições para serem primos. E destes 8, alguns não o são. Logo, se em cada grupo de 30 números 8 ou são p ou são Fp, então os restantes 22 serão números não primos ( Np)

Perguntemo-nos então:

Quantos números primos existem até n.30+1 ?

Independentemente do valor de n, podemos responder com segurança que existem pelo menos n.8+3 números ( recordo o 2,3 e 5 que deixamos de fora ) sendo que alguns deles são p e outros são Fp. Como vimos anteriormente, a diferença entre n.8+3 e n.30+1 , será constituida apenas por números que não são nem p, nem Fp. Ou seja são números ...não primos e que passarão a ser representados daqui em diante como números, Np.

O que basicamente importa reter nesta conceptualização é a ideia de que até um certo número n, existe uma determinada quantidade de números que são primos, uma outra quantidade de números que são Falsos primos ( e que integram a par dos números primos, os números que compõe o Vector) e por fim uma outra quantidade de números que não são primos.

Numa linguagem mais formal :

1 - n = { n }

2- { n . 30 } = { p } + { Fp } + { Np }

3 - { n . 30 } = { n . 8 } + { Np }

Na próxima aula iremos demonstrar algumas aplicações práticas do que temos vindo a aprender, nomeadamente com a construção de modelos geométricos úteis a algumas interpretações relacionadas com teoria dos números.

Até Já

sábado, 7 de fevereiro de 2009

como encontrar números primos

Como encontrar números primos

Eratóstenes de Alexandria, concebeu uma técnica engenhosa para encontrar e identificar números primos que viria a ficar conhecida como " O Crivo de Eratóstenes". Esta técnica consistia basicamente em fazer uma lista com todos os números inteiros até ao maior número inteiro que escolhessemos. A seguir , excluia o primeiro número dessa lista ( ou seja o 1 ) e começando no número seguinte ( o número 2 ), "cortava" ao longo dessa lista, todos os seus múltiplos. ....4,6,8,10,12,14,16,18 (...). A seguir, e como o número seguinte da lista ( o número 3 ) não estava "cortado", o que significava que não era múltiplo de nenhum outro sendo portanto primo, fazia o mesmo a todos os múltiplos que lhe iam sucedendo ...6,9,12,15,18,21,24,27(...). O próximo número da lista, o 4, como já havia sido "cortado" anteriormente ( é múltiplo de 2 ) não podia ser primo avançando-se assim para o número imediatamente da lista que ainda não tivesse sido "cortado". Neste caso o 5 e iniciava novamente o procedimento de "cortar" todos os seus múltiplos, ...10,15,20,25,30,35,40 (...).O número seguinte, o 6 não era primo por ser múltiplo simultâneamente de 2 e 3 avançando assim para o próximo número primo desta lista. O número 7. E seguia com este procedimento sucessivamente até ao inteiro que previamente havia sido escolhido. Se estivesse cortado era porque era múltiplo de um outro número e por conseguinte divisível por ele. Se não estivesse cortado era um número primo.

Ora , este é sem dúvida nenhuma um procedimento bastante fastidioso. Resulta, como ferramenta de trabalho, apenas para números relativamente pequenos. A decomposição de um número em factores primos tal qual se aprende na escola hoje em dia, continua a ser, apesar de tudo o processo mais rápido e fiável para detrminar a "primalidade" de um número.
No entanto, impunha-se para mim, descurtinar uma outra forma de identificar números primos que sirvisse a demonstração da Conjectura em causa.

Consideremos então , a seguinte apresentação gráfica para representação de números inteiros :

A - 1- 7 - 13 - 19 - 25 - 31 - 37 - 43 - 49 - 55 - 61 - 67 - 73 - 79
B - 2 - 8 - 14 - 20 - 26 - 32 - 38 - 44 - 50 - 56 - 62 - 68 - 74 - 80
C - 3 - 9 - 15 - 21 - 27 - 33 - 39 - 45 - 51 - 57- 63- 69 - 75 - 81
D - 4 -10-16 - 22 - 28 - 34 - 40 - 46 - 52 - 58 - 64 - 70 - 76 - 82
E - 5 -11- 17- 23 - 29 - 35 - 41 - 47 - 53- 59 - 65 - 71 - 77 - 83
F - 6 - 12- 18- 24 - 30 - 36 - 42 - 48 - 54- 60 - 66 - 72 - 78 - 84 (...)

Este quadro agrupa os números em linhas e colunas. Na realidade trata-se de uma Matriz cuja defenição matemática é por si só bastante estéril. Diz-nos que "uma Matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e em colunas sendo o seu tamanho dado por dois números inteiros que indicam respectivamente o número de linhas e de colunas.
O significado latino original da palavra "matriz" é ventre ou útero, que por extensão passou a significar algo dentro do qual ou a partir do qual alguma coisa é originada ou desenvolvida.
Voltando agora à nossa tabela, as letras que se encontram na coluna inicial , (A,B,C,D,E,F), servem neste contexto para designar unicamente os nomes das linhas. Assim , a primeira coluna é constituida pelos números (1,2,3,4,5,6). A segunda coluna pelos números (7,8,9,10,11,12), (...) , a sétima columa por exemplo é constituida pelos números (37,38,39,40,41,42) e assim sucessivamente. Repare-se que nenhum número inteiro fica de fora desta lista. Dado um qualquer número "n" ele há-de ser encontrado numa determinada coluna e numa determinada linha.

Ora, se os números contidos nas colunas devem de ser lidos na vertical, já os números que compõe as linhas deverão ser lidos na horizontal. Assim, a Linha A por exemplo integra os números (1,7,13,19,25,31,37,43,(...)73,79 (...) .
Desta forma, todos os números inteiros podem ser representados nesta nossa matriz de 6 linhas e "n" colunas , sendo n um qualquer número inteiro que queiramos. O número 23 por exemplo está posicionado na linha E e na coluna 4 , o número 45 está na linha C e na coluna 8 .

Se observarmos agora onde se posicionam os números primos nesta matriz, e depois de excluirmos os números da primeira coluna chegamos rapidamente à conclusão de que apenas as linhas A e E podem conter números primos.

A - 7,13,19,25,31,37,43,49,55 (... )
E - 11,17,23,29,35,41,47,53,59,(...)

De facto, os números que integram as linhas B,C,D,F são todos eles divisíveis por 2 ou por 3 e como consequência são números compostos. Ou seja, não reunem as condições de primalidade que vimos anteriormente e que diz que : um número primo apenas é divisível por 1 ou por si próprio.

Imaginem agora que vamos "sobrepôr" as linhas A e E. O resultado, depois de organizados os números do mais pequeno para o maior, será o seguinte :

A+E - 1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,(...)

Ficar-nos-iam a faltar nesta lista os números primos 2 e 3 que como vimos anteriormente se encontram na primeira coluna nas linhas B e C, respectivamente.
Podemos concluir que desta forma que todos os números primos que existem devem estar posicionados ou na linha A ou na linha E desta matriz, porque como vimos anteriormente, todas as linhas restantes (B,C,D,F) contêem números que são divisíveis por 2 ou por 3 .

A exemplo do que fizemos anteriormente, vamos agora construir uma nova matriz, onde iremos registar apenas os números que integram as linhas A e E . Como se estivessemos a rearranjar apenas números primos, deixando de fora propositadamente os números primos 2 e 3.
Vejamos então : A+E

a- 1 31 61 91
b- 5 35 65 95
c- 7 37 67 97
d- 11 41 71 101
e- 13 43 73 103
f- 17 47 77 107
g- 19 49 79 109
h- 23 53 83 113
i- 25 55 85 115
j- 29 59 89 119 (...)

Analisando esta nova matriz ( uma espécie de sub-matriz da matriz inicial ) , observamos que todos os números primos que conhecemos, provenientes das linhas A e E podem ser aqui representados bastando para isso que o número de colunas desta sub-matriz seja suficientemente grande.
Se retirarmos agora as linhas "b" e "i" que contém números que não são primos, pois são divisíveis por 5, poderemos então voltar a reorganizar os números numa única linha a que passaremos a chamar daqui em diante de Vector.

Assim, este "Vector" irá conter os números :

V- 1 ,7, 11,13,17,19,23,29,
31,37,41,43,47,49,53,59,
61,67,71,73,77,79,83,89,
91,97,101,103,107,109,113,119,(....)

Repare-se que agora deixamos de fora os números primos 2,3,e 5, propositadamente, e o facto de este ser um Vector específico de números provenientes de uma sub-matriz específica, por sua vez provenientes de uma matriz de números inteiros, permite-nos observar que podemos "organizá-los" tendo em linha de conta as suas terminações e/ou a diferença que existe entre eles quando colocados em novas colunas e novas linhas. Uma espécie de sub-sub-matriz.
Vejamos a diferença entre estes números quando lemos a coluna:

1+30=31; 31+30 = 61; 61+30 = 91 (...),
ou por exemplo:
17+30=47; 47+30=77; 77+30=107(...)

Vejamos agora a diferença, quando lemos os números de uma linha :

1+6=7;7+4=11;11+2=13;13+4=17;17+2=19;19+4=23;23+6=29;29+2=31

Ora 31 , é o 2º número da primeira coluna e o primeiro número da segunda linha o que quer dizer que podemos adoptar o mesmo procedimento quando lemos a segunda linha ou seja :

31+6=37;37+4=41;41+2=43;43+4=47;47+2=49;49+4=53;53+6=59;59+2=61

O número 61, é agora o 3º número da primeira coluna e o primeiro número da 3ª linha. Se mantivermos sempre este procedimento à medida que vamos efectuando as somas indicadas, percorremos todo o Vector e como consequência , todos os números primos que existem, exceptuando os números primos 2,3 e 5 que propositadamente deixamos de fora.

Podemos então reescrever os números que integram o Vector utilizando apenas números cujas somas ( cíclicas ) produzem números primos. Vejamos:

1+6+4+2+4+2+4+6+2+
6+4+2+4+2+4+6+2+
6+4+2+4+2+4+6+2+(...)

Substituindo agora o "procedimento" pelos resultados, temos:

1+6=7,11,13,17,19,23,29,31,
37,41,43,47,49,53,59,61,
67,71,73,77,79,83,89,91, (...)

Ao interpretarmos este padrão "aparente" que resulta da aplicação de um procedimento assente em somas cíclicas, podemos generalizar algumas dessas interpretações que serão fundamentais neste processo de demonstração da Conjectura de Goldbach. A primeira dessas generalizações é podermos afirmar que por cada "grupo" de 30 números apenas 8 têem condições de serem primos. A segunda generalização é a de que nos é possível adoptar um procedimento que consiste em somar de forma regular e cíclica um conjunto de 8 números que identificam em cada grupo de 30 números, aqueles que têem condições de primalidade.A esse procedimento, chamaremos "soma alfa" a que corresponderá o acto de somar pela ordem que se indica os seguintes números : soma alfa = ...+6+4+2+4+2+4+6+2

Depois destas generalizações podemos agora "percorrer" o Vector sintetizando o nosso raciocínio da seguinte forma:
n.30+1+(soma alfa)
vejamos por exemplo para n=3

3.30+1= 91+... 6+4+2+4+2+4+6+2= 121
121 é neste caso igual a 4.30+1 ou seja (n+1).30+1
então podemos reescrever:
n.30+1+6+4+2+4+2+4+6+2=(n+1).30+1
+6+4+2+4+2+4+6+2=(n+2).30+1
+6+4+2+4+2+4+6+2=(n+3).30+1 (...)

Tocou agora para o intervalo, por isso hoje vamos ficar mesmo por aqui. Na próxima lição iremos falar novamente de números primos (p) ; números que neste contexto são Falsos primos ( Fp) e ainda de números que não são números primos ( Np ).

Até já

sexta-feira, 6 de fevereiro de 2009

o que são números primos ?

Pouco depois de uma criança aprender a multiplicar e a dividir, ela nota que alguns números são "especiais". Quando um número é factorizado, é decomposto nos seus constituintes básicos - os factores primos.
Assim, o número 6 = 2 x 3; o número 28= 2 x 2 x 7; o número 270= 2 x 3 x 3 x 5

e estas decomposições não podem ser simplificadas. Os números 2, 3, 5, 7,.... são números primos, ou seja, não podem ser decompostos em produtos de números menores.
Entre os inteiros, os números primos desempenham um papel que é análogo ao dos elementos em química.
Façamos agora uma lista dos primeiros números primos :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, (...)

Há cerca de 2300 anos , na proposição 20 do livro lX dos seus Elementos , Euclides apresentou uma demonstração de que a quantidade de números primos é inesgotável. A sua demonstração, fácil e elegante diz-nos o seguinte:

“Suponhamos que temos uma lista completa de todos os números primos ate pn . Considere-se o inteiro N = (2*3*5*7*.......pn ) +1 , formado pela adição de 1 ao produto de todos os números primos até pn .
N , é maior do que pn (pois é de certeza mais do dobro). Quando N é dividido por 2 , o resultado é 3*5*7*.....pn sendo o resto 1. Quando dividido por 3 o resultado é 2*5*7*...pn , sendo o resto novamente 1 . De modo semelhante , quando dividido por qualquer dos números primos 2,3,5,7,...pn , o resto é sempre 1.
Contudo , N é ou não um número primo ? Se for primo é maior do que pn . Se não for primo então pode ser factorizado em números primos . No entanto como acabamos de verificar , nenhum dos seus factores pode ser 2,3,5,7,....pn , logo tem de existir um número primo maior do que pn.

Um outro facto ainda mais surpreendente é a ausência de qualquer padrão ou regularidade aparentes.
Nesta demonstração que vamos iniciar, sempre que nos referirmos a um qualquer número primo, utilizamos a letra p

Assim, a conjectura de Goldbach, tal como se encontra enunciada afirma que

p + p = 2.n , (que é o mesmo que 2p = 2n , se p = p ) , e p + p1 = 2 n ( se p diferente de p1) e onde n representa um certo número inteiro. Vejamos o exemplo que se segue :

7 + 7 = 14 = 2 x 7; e 7 + 13 = 20 = 2 x 10 .
Se substituirmos os termos da equação pela fórmula, observamos que para p=7, o valor de n é igual a 7; (2 x 7 = 14) e para p=7 e p1=13, o valor de n é igual a 10 . (2 x 10 = 20 = 7 + 13) .

2.n é uma fórmula comum que apenas produz números pares. Se multiplicarmos 2 por qualquer inteiro o resultado será sempre um número par. Assim, ao considerarmos que a Conjectura é verdadeira, poderiamos afirmar que para qualquer soma obtida a partir de p + p ou de p + p1 o resultado que obtivermos terá que ser igual a um certo 2.n que é como vimos um certo número par. Ou seja, o mesmo argumento da conjectura dito de outra forma.

A partir da lista dos primeiros números primos , podemos testar alguns deles no âmbito da Conjectura: Vejamos :

13 + 17 = 30
30= 2.15
n=15

61 + 61 = 122
122=2.61
n=61

e assim sucessivamente para qualquer combinação que queiramos de p, que é o mesmo que dizer, para qualquer "emparelhamento" de números primos.

Conforme referi na minha introdução , estes "resultados" parecem de facto dar razão ao enunciado da Conjectura. Mas desenganem-se meus amigos. A Conjectura é falsa como teremos oportunidade de verificar. Não funciona a partir de números pares suficientemente grandes.

No próximo post.vamos aprender como encontrar números primos, através de uma técnica "inédita" da qual resulta um critério assente em duas permissas :
"condição necessária e suficiente" vs "condição necessária mas não suficiente".

Até já

quinta-feira, 5 de fevereiro de 2009

Introdução



O Platonismo é a posição segundo a qual toda a matemática existe eternamente independentemente do homem . O objectivo do matemático é descobrir estas verdades .
Segundo esta doutrina , os objectos matemáticos não são físicos ou materiais . Eles existem fora do espaço e do tempo da existência física . São imutáveis . Não foram criados , não se alterarão ou desaparecerão .


A seguir temos o Formalismo preconizado pelo inglês David Hilbert .
Este defende uma matemática assente unicamente em símbolos ou expressões que são manipulados ou combinados de acordo com regras e acordos pré-estabelecidos .
O Formalismo , não se preocupa com o significado das expressões
.

Por último, o Construtivismo ( terminologia anterior : Intuicionismo ), que aparece associado ao matemático holandês L.E.J. Brower e seus seguidores . È uma doutrina que afirma que os únicos objectos matemáticos que tem existência real e significado , são os que podem ser “construidos” a partir de certos objectos primitivos de um modo finito .

Esta referência às diferentes doutrinas que norteiam o espírito da investigação Matemática, servem para introduzir o mote que está na origem deste Blog."A Conjectura de Goldbach".

"qualquer número par, pode ser obtido pela soma de 2 números primos "

Esta simples afirmação não parece esconder um dos mais famosos e difíceis problemas não resolvidos da matemática.
Quando se tenta verificar sua validade, a hipótese parece-nos plausível:
8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7; 12 = 5 + 7 ... Embora computadores já tenham constatado a veracidade da hipótese para números com aproximadamente 40 dígitos , simples verificações empíricas não bastam para demonstrá-la.

O célebre problema, conhecido como a 'conjectura de Goldbach', foi formulado em 1742 numa carta do matemático prussiano Christian Goldbach (1690-1764) ao colega suíço Leonhard Euler (1707-1783). Desde então, a hipótese tem desafiado -- e derrotado -- estudiosos notáveis da matemática. Recentemente, o problema foi tema de um romance publicado no Brasil intitulado : "Tio Petros e a Conjectura de Goldbach", escrito por Apostolos Doxiadis, matemático australiano radicado na Grécia.

Ora, para escrever sobre este assunto, senti desde logo , necessidade de defenir um rumo conceptual suficientemente amplo , capaz de ajudar a criar uma estrutura de inteligibilidade acessível ao mais comum dos leitores. Assim , a demonstração da conjectura desenvolver-se-à paulatinamente onde o carácter interactivo e dinâmico que o blog propicia, permitirá a discussão praticamente "just in time" de um ou outro aspecto que possa eventualmente surgir menos claro ao leitor.

Tenho plena consciência do "risco" que é, expor neste espaço de visibilidade pública uma demonstração matemática tão profunda e "quase" inexpugnável quanto esta. Contudo, como alguém afirmou certa vez,

...." independentemente do destino da nossa viagem, o percurso é por si só , meio prazer"

Até Já