como encontrar números primos

Como encontrar números primos

Eratóstenes de Alexandria, concebeu uma técnica engenhosa para encontrar e identificar números primos que viria a ficar conhecida como " O Crivo de Eratóstenes". Esta técnica consistia basicamente em fazer uma lista com todos os números inteiros até ao maior número inteiro que escolhessemos. A seguir , excluia o primeiro número dessa lista ( ou seja o 1 ) e começando no número seguinte ( o número 2 ), "cortava" ao longo dessa lista, todos os seus múltiplos. ....4,6,8,10,12,14,16,18 (...). A seguir, e como o número seguinte da lista ( o número 3 ) não estava "cortado", o que significava que não era múltiplo de nenhum outro sendo portanto primo, fazia o mesmo a todos os múltiplos que lhe iam sucedendo ...6,9,12,15,18,21,24,27(...). O próximo número da lista, o 4, como já havia sido "cortado" anteriormente ( é múltiplo de 2 ) não podia ser primo avançando-se assim para o número imediatamente da lista que ainda não tivesse sido "cortado". Neste caso o 5 e iniciava novamente o procedimento de "cortar" todos os seus múltiplos, ...10,15,20,25,30,35,40 (...).O número seguinte, o 6 não era primo por ser múltiplo simultâneamente de 2 e 3 avançando assim para o próximo número primo desta lista. O número 7. E seguia com este procedimento sucessivamente até ao inteiro que previamente havia sido escolhido. Se estivesse cortado era porque era múltiplo de um outro número e por conseguinte divisível por ele. Se não estivesse cortado era um número primo.

Ora , este é sem dúvida nenhuma um procedimento bastante fastidioso. Resulta, como ferramenta de trabalho, apenas para números relativamente pequenos. A decomposição de um número em factores primos tal qual se aprende na escola hoje em dia, continua a ser, apesar de tudo o processo mais rápido e fiável para detrminar a "primalidade" de um número.
No entanto, impunha-se para mim, descurtinar uma outra forma de identificar números primos que sirvisse a demonstração da Conjectura em causa.

Consideremos então , a seguinte apresentação gráfica para representação de números inteiros :

A - 1- 7 - 13 - 19 - 25 - 31 - 37 - 43 - 49 - 55 - 61 - 67 - 73 - 79
B - 2 - 8 - 14 - 20 - 26 - 32 - 38 - 44 - 50 - 56 - 62 - 68 - 74 - 80
C - 3 - 9 - 15 - 21 - 27 - 33 - 39 - 45 - 51 - 57- 63- 69 - 75 - 81
D - 4 -10-16 - 22 - 28 - 34 - 40 - 46 - 52 - 58 - 64 - 70 - 76 - 82
E - 5 -11- 17- 23 - 29 - 35 - 41 - 47 - 53- 59 - 65 - 71 - 77 - 83
F - 6 - 12- 18- 24 - 30 - 36 - 42 - 48 - 54- 60 - 66 - 72 - 78 - 84 (...)

Este quadro agrupa os números em linhas e colunas. Na realidade trata-se de uma Matriz cuja defenição matemática é por si só bastante estéril. Diz-nos que "uma Matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e em colunas sendo o seu tamanho dado por dois números inteiros que indicam respectivamente o número de linhas e de colunas.
O significado latino original da palavra "matriz" é ventre ou útero, que por extensão passou a significar algo dentro do qual ou a partir do qual alguma coisa é originada ou desenvolvida.
Voltando agora à nossa tabela, as letras que se encontram na coluna inicial , (A,B,C,D,E,F), servem neste contexto para designar unicamente os nomes das linhas. Assim , a primeira coluna é constituida pelos números (1,2,3,4,5,6). A segunda coluna pelos números (7,8,9,10,11,12), (...) , a sétima columa por exemplo é constituida pelos números (37,38,39,40,41,42) e assim sucessivamente. Repare-se que nenhum número inteiro fica de fora desta lista. Dado um qualquer número "n" ele há-de ser encontrado numa determinada coluna e numa determinada linha.

Ora, se os números contidos nas colunas devem de ser lidos na vertical, já os números que compõe as linhas deverão ser lidos na horizontal. Assim, a Linha A por exemplo integra os números (1,7,13,19,25,31,37,43,(...)73,79 (...) .
Desta forma, todos os números inteiros podem ser representados nesta nossa matriz de 6 linhas e "n" colunas , sendo n um qualquer número inteiro que queiramos. O número 23 por exemplo está posicionado na linha E e na coluna 4 , o número 45 está na linha C e na coluna 8 .

Se observarmos agora onde se posicionam os números primos nesta matriz, e depois de excluirmos os números da primeira coluna chegamos rapidamente à conclusão de que apenas as linhas A e E podem conter números primos.

A - 7,13,19,25,31,37,43,49,55 (... )
E - 11,17,23,29,35,41,47,53,59,(...)

De facto, os números que integram as linhas B,C,D,F são todos eles divisíveis por 2 ou por 3 e como consequência são números compostos. Ou seja, não reunem as condições de primalidade que vimos anteriormente e que diz que : um número primo apenas é divisível por 1 ou por si próprio.

Imaginem agora que vamos "sobrepôr" as linhas A e E. O resultado, depois de organizados os números do mais pequeno para o maior, será o seguinte :

A+E - 1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,(...)

Ficar-nos-iam a faltar nesta lista os números primos 2 e 3 que como vimos anteriormente se encontram na primeira coluna nas linhas B e C, respectivamente.
Podemos concluir que desta forma que todos os números primos que existem devem estar posicionados ou na linha A ou na linha E desta matriz, porque como vimos anteriormente, todas as linhas restantes (B,C,D,F) contêem números que são divisíveis por 2 ou por 3 .

A exemplo do que fizemos anteriormente, vamos agora construir uma nova matriz, onde iremos registar apenas os números que integram as linhas A e E . Como se estivessemos a rearranjar apenas números primos, deixando de fora propositadamente os números primos 2 e 3.
Vejamos então : A+E

a- 1 31 61 91
b- 5 35 65 95
c- 7 37 67 97
d- 11 41 71 101
e- 13 43 73 103
f- 17 47 77 107
g- 19 49 79 109
h- 23 53 83 113
i- 25 55 85 115
j- 29 59 89 119 (...)

Analisando esta nova matriz ( uma espécie de sub-matriz da matriz inicial ) , observamos que todos os números primos que conhecemos, provenientes das linhas A e E podem ser aqui representados bastando para isso que o número de colunas desta sub-matriz seja suficientemente grande.
Se retirarmos agora as linhas "b" e "i" que contém números que não são primos, pois são divisíveis por 5, poderemos então voltar a reorganizar os números numa única linha a que passaremos a chamar daqui em diante de Vector.

Assim, este "Vector" irá conter os números :

V- 1 ,7, 11,13,17,19,23,29,
31,37,41,43,47,49,53,59,
61,67,71,73,77,79,83,89,
91,97,101,103,107,109,113,119,(....)

Repare-se que agora deixamos de fora os números primos 2,3,e 5, propositadamente, e o facto de este ser um Vector específico de números provenientes de uma sub-matriz específica, por sua vez provenientes de uma matriz de números inteiros, permite-nos observar que podemos "organizá-los" tendo em linha de conta as suas terminações e/ou a diferença que existe entre eles quando colocados em novas colunas e novas linhas. Uma espécie de sub-sub-matriz.
Vejamos a diferença entre estes números quando lemos a coluna:

1+30=31; 31+30 = 61; 61+30 = 91 (...),
ou por exemplo:
17+30=47; 47+30=77; 77+30=107(...)

Vejamos agora a diferença, quando lemos os números de uma linha :

1+6=7;7+4=11;11+2=13;13+4=17;17+2=19;19+4=23;23+6=29;29+2=31

Ora 31 , é o 2º número da primeira coluna e o primeiro número da segunda linha o que quer dizer que podemos adoptar o mesmo procedimento quando lemos a segunda linha ou seja :

31+6=37;37+4=41;41+2=43;43+4=47;47+2=49;49+4=53;53+6=59;59+2=61

O número 61, é agora o 3º número da primeira coluna e o primeiro número da 3ª linha. Se mantivermos sempre este procedimento à medida que vamos efectuando as somas indicadas, percorremos todo o Vector e como consequência , todos os números primos que existem, exceptuando os números primos 2,3 e 5 que propositadamente deixamos de fora.

Podemos então reescrever os números que integram o Vector utilizando apenas números cujas somas ( cíclicas ) produzem números primos. Vejamos:

1+6+4+2+4+2+4+6+2+
6+4+2+4+2+4+6+2+
6+4+2+4+2+4+6+2+(...)

Substituindo agora o "procedimento" pelos resultados, temos:

1+6=7,11,13,17,19,23,29,31,
37,41,43,47,49,53,59,61,
67,71,73,77,79,83,89,91, (...)

Ao interpretarmos este padrão "aparente" que resulta da aplicação de um procedimento assente em somas cíclicas, podemos generalizar algumas dessas interpretações que serão fundamentais neste processo de demonstração da Conjectura de Goldbach. A primeira dessas generalizações é podermos afirmar que por cada "grupo" de 30 números apenas 8 têem condições de serem primos. A segunda generalização é a de que nos é possível adoptar um procedimento que consiste em somar de forma regular e cíclica um conjunto de 8 números que identificam em cada grupo de 30 números, aqueles que têem condições de primalidade.A esse procedimento, chamaremos "soma alfa" a que corresponderá o acto de somar pela ordem que se indica os seguintes números : soma alfa = ...+6+4+2+4+2+4+6+2

Depois destas generalizações podemos agora "percorrer" o Vector sintetizando o nosso raciocínio da seguinte forma:
n.30+1+(soma alfa)
vejamos por exemplo para n=3

3.30+1= 91+... 6+4+2+4+2+4+6+2= 121
121 é neste caso igual a 4.30+1 ou seja (n+1).30+1
então podemos reescrever:
n.30+1+6+4+2+4+2+4+6+2=(n+1).30+1
+6+4+2+4+2+4+6+2=(n+2).30+1
+6+4+2+4+2+4+6+2=(n+3).30+1 (...)

Tocou agora para o intervalo, por isso hoje vamos ficar mesmo por aqui. Na próxima lição iremos falar novamente de números primos (p) ; números que neste contexto são Falsos primos ( Fp) e ainda de números que não são números primos ( Np ).

Até já