Confesso que não tenho tido tempo para escrever no Blog.
Esta demorada ausência ficou a dever-se ao meu envolvimento na resolução de um "outro" importante problema que envolve complexidade ( P/NP) e que oportunamente irei partilhar aqui convosco.
Relativamente à conjectura de Goldbach que é o tema principal deste Blog, escrevi um livro (ainda não editado) onde demonstro que a conjectura é falsa para números "muito" grandes.
No essencial a demonstração assenta no princípio de "reductio ad absurdum".
De resto, não faz muito sentido que a quantidade de Primos até n, seja igual à quantidade de tios e primos até n+1.
(ok, era uma piada )
Até já
quarta-feira, 25 de janeiro de 2012
quinta-feira, 17 de setembro de 2009
A preparar o regresso...
Quero antes de mais pedir encarecidas desculpas por esta demorada ausência.
Prometo retomar as "postagens" agora com maior assiduidade.
bem hajam
bettencourt
Prometo retomar as "postagens" agora com maior assiduidade.
bem hajam
bettencourt
quarta-feira, 4 de março de 2009
O Arquitecto XPTO - III
Assim que voltou, passados alguns instantes , o Arquitecto não conseguia disfarçar a sua ansiedade.
Se os meus cálculos estiverem corretos, pensava ele com os seus botões, – irei encontrar no primeiro piso ( o piso 10 ¹ ) com apenas 10 m2, 5 homens e 5 mulheres .
Os B,I’s dos homens serão o 2,4,6,8,10 e o das mulheres o 1,3,5,7,9.
Definiu que no caso do homem com o número de B.I. 2, este seria considerado não uma mulher “prima” como vinha acontecendo até aí ( o que, diga-se em abono da verdade lhe vinha trazendo alguns problemas existenciais ), mas sim como sendo o único homem “primo” cujo número do B.I. era par.
Ainda segundo os seus apontamentos, a distribuição destas pessoas pelo primeiro piso e de acordo com as instruções que havia dado anteriormente deveria ser a seguinte :
Numa das metades, a porteira (1) , mais 3 primas ( 3,5,7) ; 1 primo (2) ; e uma mulher não prima com o B.I. (9).
Na outra metade do piso, os homens 4,6,8,e 10.
Dera neste caso particular do primeiro piso, liberdade de movimentos ao homem 2 para que escolhesse o lado em que poderia estar.
Continuou a interpretar os seus apontamentos e antes mesmo de confirmar no local se as suas ordens haviam sido bem compreendidas, disse :
No piso seguinte , o piso 10² com 100 m2, devo de encontrar dois grandes conjuntos de pessoas vestidas da seguinte maneira :
- 50 homens de fato azul e 50 mulheres de vestido vermelho.
E no conjunto das mulheres , pensava ele , deverei encontrar um sub-conjunto de 21 “primas” com vestido vermelho e casaco branco, mais um sub-conjunto com 3 mulheres que são as “falsas primas” ( 49, 77 e 91 ) de vestido vermelho e casaco verde e por último 26 mulheres de vestido vermelho.
Pegou no lápis e escreveu: 21 + 3 + 26 = 50 mulheres ; 50 mulheres + 50 homens = 100 pessoas Se 1 pessoa = 1 m2, então 100 pessoas = 100 m2 .
Resolveu então confirmar com os seus próprios olhos estes resultados e passando no piso 10¹, observou que de facto os seus cálculos estavam correctos, e no piso seguinte ( 10² ) as contas que entretanto fizera também batiam certo .
No piso 10³ , seguiu a mesma metodologia e contou 168 mulheres primas , 96 mulheres que eram falsas primas , 236 mulheres não primas e 500 homens.
A seguir, somou os resultados da sua contagem : Do lado das mulheres somou 168 primas + 96 falsas primas + 236 não primas + 500 homens o que prefazia um total de 1000 pessoas
Subiu mais um piso ( 10⁴ ) e contou : 1229 mulheres primas, 1435 mulheres “falsas primas” , 2336 mulheres não primas e 5000 homens, no final desta contagem voltou novamente a somar os resultados : 1229(p) + 1435(fp) + 2336(np) + 5000(Np) = 10 000 pessoas.
Os resultados coincidiam com a estratégia de contagem que havia adoptado.
Observou que a quantidade de mulheres "falsas primas" era neste piso, maior do que a quantidade de mulheres "primas". Chegou mesmo a fazer algumas generalizações, escrevendo nos seus apontamentos o seguinte:
Se cada piso é por definição igual a um certo 10ⁿ , então deverei poder encontrar nesse mesmo piso, quatro conjuntos de pessoas cujas roupas serão constituidas por : vestido vermelho e casaco branco (p),vestido vermelho e casaco verde (Fp); apenas vestido vermelho (nP) e homens de fato azul (Np), de tal maneira que somando os elementos de cada um destes conjuntos assim formados, deverá dar um resultado exactamente igual à àrea do piso em que se encontram.Digamos de forma mais simplificada que para 10ⁿ = p + Fp + np + Np
Havia no entanto, uma questão que lhe surgia menos clara neste processo de contagem.
È que o edifício deveria de albergar exactamente o número de pessoas correpondente ao somatório das áreas dos pisos do edificio. Do primeiro piso, do segundo piso, do terceiro piso (…). Se quisesse determinar a quantidade de mulheres de vestido vermelho e casaco branco ( mulheres primas ) deveria de somar todas as que encontrara no primeiro piso juntamente com as que encontrara no segundo piso, com as do terceiro (…).
Ora, isso iria dar-lhe obviamente resultados diferentes daqueles que obtivera quando efectuara cálculos com recurso unicamente aos B.I’s de cada uma destas pessoas.De facto, no que respeita por exemplo a mulheres de vestido vermelho e casaco branco, encontrara no primeiro piso 4 , no segundo 21 no terceiro 168 e no quarto piso 1229. Deveriam portanto de existir no edificio e até ao quarto piso , 4+21+168+1229 = 1422 mulheres "primas", e isso não correspondia à verdade.
Esta questão intrigava-o. Aprendera nos primeiros anos do curso de arquitectura uma fórmula para contar mulheres primas e era essa a fórmula que vinha utilizando para calcular a quantidade de casacos brancos necessários em cada um dos pisos para serem distribuidos pelas mulheres "primas".
A partir desta fórmula, ele sabia também calcular o "espaço" necessário em cada piso para cada conjunto de outras pessoas segundo os critérios de vestuário que havia definido inicialmente.
Essa "fórmula", explicara-lhe na altura o professor, era uma função a que se convencionara chamar de função pi e definia-se como sendo o número de números primos menores ou iguais a "n".
Esta função pi, permitia quantificar a distribuição dos números primos.
Por analogia, permitia-lhe também a ele quantificar a quantidade de mulheres primas no seu edificio, porque como tivera ocasião de observar, os números de B.I., destas mulheres tinham números iguais aos números primos.
(continua)
sábado, 28 de fevereiro de 2009
O Arquitecto XPTO - II
Ora acontece que os resultados a que havia chegado não eram ainda suficientes para poder tirar conclusões definitivas.Com efeito, nada lhe garantia que de facto os últimos pisos do edifício pudessem ter uma tão baixa percentagem de mulheres de vestido vermelho e casaco branco. Por outro lado, dera-se conta que o seu edifício corria sérios riscos de nunca vir a ser acabado, porque como concluira anteriormente, por cada piso terminado, outro ainda maior lhe sucedia.
Havia contudo, alguns dados que tinha como certos. O número de mulheres era igual ao número de homens, e sabia também que cada um deles tinha um número de B.I. específico sendo por isso "fácil" diferenciar as mulheres dos homens. Podia ainda determinar com rigor a quantidade de mulheres com vestido vermelho e casaco branco bastando para isso ir de piso em piso fazer essa contagem e anotar os resultados para depois os somar.
Entretanto o edifício ia já atingindo uma altura considerável e o número de pessoas alojadas era cada vez maior, sendo como consequência cada vez mais dificil e mais moroso ao nosso arquitecto andar de piso em piso a fazer contagens e a anotar os resultados.
Certa vez, XPTO, o arquitecto da nossa história, lamentou-se à entrada do edificio da dificuldade que estava a ter em encontrar "primas" sobretudo nos pisos mais altos. Deve de haver um método mais simples e mais eficaz de as encontrar pensava ele desanimado e cabisbaixo. A porteira apercebendo-se do desânimo do nosso personagem, e sabendo das suas consumições, abeirou-se dele e disse-lhe :
- " porque é que o sr. arquitecto, em vez de andar de piso em piso a tomar notas, não reune todos os bilhetes de identidade e em função dos respectivos números toma as notas necessárias ao seu estudo ?
Esta parecia-lhe ser de facto uma boa ideia. Mas por outro lado como é que iria fazer para recolher novamente todos os B.I's ?.
Simples, disseram em uníssuno as mulheres 2,3 e 5. Manda-se evacuar o edificio.
Excelente ideia. Assim aproveitaria também para introduzir algumas correcções ao desenho inicial, coisa que obviamente não poderia fazer com as pessoas alojadas.
Então , com a ajuda das mulheres 1,2,3 e 5, organizou vários grupos de 30 pessoas, onde cada um desses grupos era composto por 15 homens e 15 mulheres. Para entrar no edifício, cada grupo iria ter de passar por uma porta giratória entretanto construida à entrada do edificio ( semelhante às que se usam nos estádios de futebol ). Na extremidade dessa porta, a porteira entregaria novamente a cada pessoa o respectivo B.I.
Assim que deu início a esta operação, o sr. arquitecto estava particularmente atento à entrada das mulheres "primas" e foi anotando pacientemente todas as que ia encontrando em cada grupo de 30 pessoas. Não iria considerar as "primas" 2,3 e 5 por pertencerem digamos que ...ao staff e também porque as poderia adicionar em qualquer momento aos resultados que vinha anotando.
Observou logo no primeiro grupo de 30 pessoas que as "primas" iam aparecendo segundo um padrão "quase" regular e cíclico. Se começasse a contar as "primas" iniciando a sua contagem na porteira com o B.I.(1),e "esquecendo" as primas 2,3 e 5, seis pessoas depois aparecia outra "prima" com o B.I.(7), a seguir ,após a passagem de mais quatro pessoas, surgia uma outra "prima" com o B.I.(11) , depois duas pessoas mais e uma nova "prima" com o B.I.(13), quatro pessoas mais e aparecia a "prima" (17), duas pessoas mais a "prima"(19), quatro pessoas mais a(23) e por fim,seis pessoas depois a prima (29) que eram todas as primas que existiam nesse primeiro grupo de 30 pessoas, sem contar claro está com as primas 2,3 e 5.
De facto, quando o segundo grupo de 30 pessoas começou a entrar no edificio o padrão parecia repetir-se. a prima(31)+ 6 pessoas = prima(37) + 4 pessoas = prima (41) + 2 pessoas = prima (43) + 4 pessoas = prima (47) +2 pessoas = prima(49)+4 pessoas = prima (53) + 6 pessoas = prima (59).
O que o nosso arquitecto classificara como padrão para o aparecimento de "primas", não era nem mais nem menos do que uma sequência de somas regulares e ciclicas. 1+6+4+2+4+2+4+6, para o primeiro grupo de 30 pessoas.
1+6+4+2+4+2+4+6, 2+6+4+2+4+2+4+6, para os dois primeiros grupos de 30 pessoas, e assim sucessivamente para todos os grupos de 30 pessoas que iam entrando no edificio.
A seguir a esta constatação, foi ver ao seu bloco de apontamentos quantos grupos de 30 pessoas poderia alojar em cada piso, sabendo ele que por cada grupo existiriam 8 mulheres "primas".
Não podia estar mais enganado a este respeito.
A porteira que era uma mulher atenta, apercebeu-se que no segundo grupo de 30 pessoas havia entrado uma mulher que se estava a fazer "passar" por prima. E tratou logo de informar o sr. Arquitecto XPTO, segredando-lhe ao ouvido que a mulher com o B.I. (49) não era prima.
Não pode ser, exclamou o arquitecto.
-Pode sim senhor, disse a mulher porteira. Quer ver ? e pedindo emprestado o bloco de apontamentos do sr. arquitecto, escrevinhou uma conta que depois lhe mostrou,7 x 7 = 49.
Ora, acontecera que a porteira havia observado no desempenho das suas funções que os números dos B.I’s das mulheres primas, possuíam uma característica única relativamente a todos os outros . Eram números que só eram divisíveis por 1 e por si próprios. O problema estranho que encontrei sr. Arquitecto – disse ela - é que no segundo grupo de 30 pessoas que entraram no edifício, a mulher 49 fez-se passar por prima, mas no terceiro grupo de 30 pessoas , encontrei outra. A mulher 77 = 7 x 11 e no quarto grupo encontrei ainda mais duas . A mulher 91 = 7 x 13 e a mulher 119 = 7 x 17.
Quer dizer então que as mulheres “primas” 1+6+4+2+4+2+4+6+(…), não são afinal de contas todas elas primas ? Mas que grande maçada – Comentou o arquitecto. E agora ?
Retirou-se para um canto e pôs-se a pensar . Passados alguns instantes chamou o resto do seu pessoal , as mulheres 2,3 e 5 e disse-lhes : Em vez de um casaco branco, por cima do vestido vermelho, todas as mulheres que encontrarem que sejam “falsas primas” , deverão vestir um casaco verde.
A seguir , quero também que por cada piso juntem as respectivas pessoas não por ordem mas sim em função da cor da roupa que trazem vestida. Para isso, dividem cada piso em duas partes iguais. De um dos lados ficam as mulheres e do outro os homens. - Continuando disse –No lado que pertencer às mulheres quero ainda que criem três zonas distintas entre si . Uma primeira zona destinada às mulheres primas , outra destinada às mulheres que são falsas primas e por fim, a terceira zona será destinada a todas as restantes mulheres . Por último , ordenou : “Nesta fase , só quero que instalem as pessoas necessárias até “enchermos” o terceiro piso.
E dizendo isto retirou-se apressadamente com o bloco de notas na mão.
(Continua )
Havia contudo, alguns dados que tinha como certos. O número de mulheres era igual ao número de homens, e sabia também que cada um deles tinha um número de B.I. específico sendo por isso "fácil" diferenciar as mulheres dos homens. Podia ainda determinar com rigor a quantidade de mulheres com vestido vermelho e casaco branco bastando para isso ir de piso em piso fazer essa contagem e anotar os resultados para depois os somar.
Entretanto o edifício ia já atingindo uma altura considerável e o número de pessoas alojadas era cada vez maior, sendo como consequência cada vez mais dificil e mais moroso ao nosso arquitecto andar de piso em piso a fazer contagens e a anotar os resultados.
Certa vez, XPTO, o arquitecto da nossa história, lamentou-se à entrada do edificio da dificuldade que estava a ter em encontrar "primas" sobretudo nos pisos mais altos. Deve de haver um método mais simples e mais eficaz de as encontrar pensava ele desanimado e cabisbaixo. A porteira apercebendo-se do desânimo do nosso personagem, e sabendo das suas consumições, abeirou-se dele e disse-lhe :
- " porque é que o sr. arquitecto, em vez de andar de piso em piso a tomar notas, não reune todos os bilhetes de identidade e em função dos respectivos números toma as notas necessárias ao seu estudo ?
Esta parecia-lhe ser de facto uma boa ideia. Mas por outro lado como é que iria fazer para recolher novamente todos os B.I's ?.
Simples, disseram em uníssuno as mulheres 2,3 e 5. Manda-se evacuar o edificio.
Excelente ideia. Assim aproveitaria também para introduzir algumas correcções ao desenho inicial, coisa que obviamente não poderia fazer com as pessoas alojadas.
Então , com a ajuda das mulheres 1,2,3 e 5, organizou vários grupos de 30 pessoas, onde cada um desses grupos era composto por 15 homens e 15 mulheres. Para entrar no edifício, cada grupo iria ter de passar por uma porta giratória entretanto construida à entrada do edificio ( semelhante às que se usam nos estádios de futebol ). Na extremidade dessa porta, a porteira entregaria novamente a cada pessoa o respectivo B.I.
Assim que deu início a esta operação, o sr. arquitecto estava particularmente atento à entrada das mulheres "primas" e foi anotando pacientemente todas as que ia encontrando em cada grupo de 30 pessoas. Não iria considerar as "primas" 2,3 e 5 por pertencerem digamos que ...ao staff e também porque as poderia adicionar em qualquer momento aos resultados que vinha anotando.
Observou logo no primeiro grupo de 30 pessoas que as "primas" iam aparecendo segundo um padrão "quase" regular e cíclico. Se começasse a contar as "primas" iniciando a sua contagem na porteira com o B.I.(1),e "esquecendo" as primas 2,3 e 5, seis pessoas depois aparecia outra "prima" com o B.I.(7), a seguir ,após a passagem de mais quatro pessoas, surgia uma outra "prima" com o B.I.(11) , depois duas pessoas mais e uma nova "prima" com o B.I.(13), quatro pessoas mais e aparecia a "prima" (17), duas pessoas mais a "prima"(19), quatro pessoas mais a(23) e por fim,seis pessoas depois a prima (29) que eram todas as primas que existiam nesse primeiro grupo de 30 pessoas, sem contar claro está com as primas 2,3 e 5.
De facto, quando o segundo grupo de 30 pessoas começou a entrar no edificio o padrão parecia repetir-se. a prima(31)+ 6 pessoas = prima(37) + 4 pessoas = prima (41) + 2 pessoas = prima (43) + 4 pessoas = prima (47) +2 pessoas = prima(49)+4 pessoas = prima (53) + 6 pessoas = prima (59).
O que o nosso arquitecto classificara como padrão para o aparecimento de "primas", não era nem mais nem menos do que uma sequência de somas regulares e ciclicas. 1+6+4+2+4+2+4+6, para o primeiro grupo de 30 pessoas.
1+6+4+2+4+2+4+6, 2+6+4+2+4+2+4+6, para os dois primeiros grupos de 30 pessoas, e assim sucessivamente para todos os grupos de 30 pessoas que iam entrando no edificio.
A seguir a esta constatação, foi ver ao seu bloco de apontamentos quantos grupos de 30 pessoas poderia alojar em cada piso, sabendo ele que por cada grupo existiriam 8 mulheres "primas".
Não podia estar mais enganado a este respeito.
A porteira que era uma mulher atenta, apercebeu-se que no segundo grupo de 30 pessoas havia entrado uma mulher que se estava a fazer "passar" por prima. E tratou logo de informar o sr. Arquitecto XPTO, segredando-lhe ao ouvido que a mulher com o B.I. (49) não era prima.
Não pode ser, exclamou o arquitecto.
-Pode sim senhor, disse a mulher porteira. Quer ver ? e pedindo emprestado o bloco de apontamentos do sr. arquitecto, escrevinhou uma conta que depois lhe mostrou,7 x 7 = 49.
Ora, acontecera que a porteira havia observado no desempenho das suas funções que os números dos B.I’s das mulheres primas, possuíam uma característica única relativamente a todos os outros . Eram números que só eram divisíveis por 1 e por si próprios. O problema estranho que encontrei sr. Arquitecto – disse ela - é que no segundo grupo de 30 pessoas que entraram no edifício, a mulher 49 fez-se passar por prima, mas no terceiro grupo de 30 pessoas , encontrei outra. A mulher 77 = 7 x 11 e no quarto grupo encontrei ainda mais duas . A mulher 91 = 7 x 13 e a mulher 119 = 7 x 17.
Quer dizer então que as mulheres “primas” 1+6+4+2+4+2+4+6+(…), não são afinal de contas todas elas primas ? Mas que grande maçada – Comentou o arquitecto. E agora ?
Retirou-se para um canto e pôs-se a pensar . Passados alguns instantes chamou o resto do seu pessoal , as mulheres 2,3 e 5 e disse-lhes : Em vez de um casaco branco, por cima do vestido vermelho, todas as mulheres que encontrarem que sejam “falsas primas” , deverão vestir um casaco verde.
A seguir , quero também que por cada piso juntem as respectivas pessoas não por ordem mas sim em função da cor da roupa que trazem vestida. Para isso, dividem cada piso em duas partes iguais. De um dos lados ficam as mulheres e do outro os homens. - Continuando disse –No lado que pertencer às mulheres quero ainda que criem três zonas distintas entre si . Uma primeira zona destinada às mulheres primas , outra destinada às mulheres que são falsas primas e por fim, a terceira zona será destinada a todas as restantes mulheres . Por último , ordenou : “Nesta fase , só quero que instalem as pessoas necessárias até “enchermos” o terceiro piso.
E dizendo isto retirou-se apressadamente com o bloco de notas na mão.
(Continua )
sábado, 21 de fevereiro de 2009
O Arquitecto XPTO - I
Antes mesmo de continuarmos a demonstrar a Conjectura de Goldbach, Hoje trago-vos uma pequena narrativa que se inspira na própria conjectura e que vai certamente constituir um forte argumento de reflexão apelando em simultâneo à capacidade imaginativa do leitor. Sugiro que vão tomando notas.
Começa assim :
Certo dia, o sr Arquitecto XPTO, resolveu dar inicio a um projecto megalómano que consistia basicamente em construir aquele que seria (segundo ele )o maior edifício do mundo.
Assim, conjecturou ainda na fase do esboço que o último piso do seu edifício haveria de ter uma área que fosse exactamente igual a 10ⁿ m2.
Definiu então para si mesmo e como primeira regra, que o primeiro piso a ser construido iria ter a área de 10²m², o segundo piso 10³ m², o terceiro piso de 10⁴ m² e assim sucessivamente até ao topo.
Observou que seguindo este critério ,o edifício depois de desenhado no papel se assemelhava a uma espécie de pirâmide invertida, tendo levado em consideração nesse desenho questões relacionadas entre outros factores com a estética ( simetria ).
Ora, acontece que o arquitecto da nossa história calculou o espaço de cada um destes pisos para albergar precisamente uma pessoa por metro quadrado. Assim , segundo os seus cálculos, no primeiro piso alojaria 10 pessoas, no segundo piso 100 pessoas, no terceiro piso 1000 pessoas , no quarto piso 10 000 e assim sucessivamente até ao último piso.
Quando a obra se encontrava já numa fase bastante avançada de construção ( tinham já começado a construir o piso 10 ⁽ⁿ⁻¹⁾,o Sr. Arquitecto XPTO, deu-se conta que nunca iria conseguir terminar aquela construção, pois por cada piso terminado, outro maior lhe sucedia.
Assim ,e mesmo com a obra a decorrer , resolveu começar a deixar entrar todas as pessoas em número exactamente igual às areas construidas deixando claro que a ocupação dos pisos deveria de ser feita a partir do primeiro e só depois de estar completo, deveriam ocupar o segundo, o terceiro, o quarto (...) até ao último piso entretanto construido e acabado.
E disse mais , para que tudo se passasse de forma organizada e ordeira, seria atribuido à entrada e por cada um dos ocupantes um número que funcionaria como uma espécie de Bilhete de identidade pessoal e intransmissível.Os homens ficariam com bilhetes de identidade cujo número fosse par, e as mulheres com os B.I's ímpares.
Determinou também que a primeira pessoa(1) ficasse como porteira do edificio sendo assessorada nessa tarefa unicamente pela segunda(2),terceira(3) e quinta(5) mulher.
E foi a pessoa número 1, com o bilhete de identidade número 1, que ficou incumbida pelo sr. Arquitecto de ir distribuindo os bilhetes de identidade por todas as outras pessoas à medida que estas iam entrando no edificio.
Quando por fim essa tarefa ficou concluida e já todas as pessoas tinham entrado e se tinham instalado cómodamente no m2 que lhes havia sido destinado até ao piso 10⁽ⁿ⁻²⁾, o nosso simpático arquitecto resolveu comemorar esse feito organizando uma grande festa com direito a baile e tudo.
A única condição que impôs era que as pessoas se vestissem impecavelmente e com roupas de côr diferente que ele próprio escolheria, de forma a que lhe pudesse ser possível diferenciar uns dos outros.Assim , as mulheres que tinham números de bilhete de identidade ímpares iriam usar um vestido vermelho e os homens com números de B.I pares usariam um fato azul.
defeniu em simultâneo um conjunto de regras com o propósito de estudar o comportamento social das pessoas , seja individual ou seja colectivamente. Quer as pessoas alvo do estudo estivessem alojadas num piso específico, quer , por extrapolação, estivessem alojadas num determinado conjunto de pisos ou/e em última análise todas as pessoas do edifício, independentemente de o último dos pisos poder estar ou não ainda em fase de conclusão.
Assim que o baile começou, o nosso anfitrião, o arquitecto XPTO, percorreu cada um dos pisos com um bloco de notas na mão onde ia anotando o comportamento de cada um dos convivas e logo no primeiro piso deparou-se com uma situação algo insólita. "Algumas" das mulheres não dançavam com nenhum dos homens presentes,optando por dançar unicamente enre si.Intrigado, abeirou-se de uma delas e perguntou porque razão é que não dançavam com outros homens, ao que ela respondeu :
- " ...é que nós somos primas. E não nos misturamos com mais ninguém.".
No piso imediatamente a seguir, observou o mesmo fenómeno, e no piso a seguir igual e no piso a seguir igual (...) tendo concluido que existiam em todos os pisos "primas" que apenas dançavam entre si.
Resolveu então contar quantas "primas" havia em cada um dos pisos para depois de somar os números que fosse anotando, ficaria a saber quantas primas existiriam ao todo no edificio.
Para que lhe fosse mais fácil fazer a contagem ordenou às "primas" que vestissem por cima do vestido vermelho um casaco branco, tendo encarregue a porteira de distribuir os referidos casacos por todas as "primas".
feita a distribuição de casacos brancos , o nosso arquitecto recomeçou então a contagem a partir do primeiro piso. Em 10 pessoas, encontrou 4 casacos brancos que por coincidência pertenciam as mulheres com os B.I. 2,3,5,7. Das quais as mulheres 2,3 e 5 tinham ficado incumbidas de auxiliar no que fosse preciso a porteira que era a mulher 1,
No segundo piso encontrou 21 mulheres com casaco branco. No terceiro piso 143. Resolveu logo aqui fazer uma primeira análise aos resultados recolhidos e verificou que sempre que ia subindo um piso, a proporção entre as mulheres que tinham casacos brancos e as que não tinham ia ficando menor, tendo concluido que a continuar assim, nos últimos pisos do edificio deveriam de haver pouquissimas mulheres de casaco branco.Observou que no limite, a percentagem de mulheres com casaco branco em relação aos homens e mulheres desse piso deveria de ser praticamente igual a 1%.
(continua )
Começa assim :
Certo dia, o sr Arquitecto XPTO, resolveu dar inicio a um projecto megalómano que consistia basicamente em construir aquele que seria (segundo ele )o maior edifício do mundo.
Assim, conjecturou ainda na fase do esboço que o último piso do seu edifício haveria de ter uma área que fosse exactamente igual a 10ⁿ m2.
Definiu então para si mesmo e como primeira regra, que o primeiro piso a ser construido iria ter a área de 10²m², o segundo piso 10³ m², o terceiro piso de 10⁴ m² e assim sucessivamente até ao topo.
Observou que seguindo este critério ,o edifício depois de desenhado no papel se assemelhava a uma espécie de pirâmide invertida, tendo levado em consideração nesse desenho questões relacionadas entre outros factores com a estética ( simetria ).
Ora, acontece que o arquitecto da nossa história calculou o espaço de cada um destes pisos para albergar precisamente uma pessoa por metro quadrado. Assim , segundo os seus cálculos, no primeiro piso alojaria 10 pessoas, no segundo piso 100 pessoas, no terceiro piso 1000 pessoas , no quarto piso 10 000 e assim sucessivamente até ao último piso.
Quando a obra se encontrava já numa fase bastante avançada de construção ( tinham já começado a construir o piso 10 ⁽ⁿ⁻¹⁾,o Sr. Arquitecto XPTO, deu-se conta que nunca iria conseguir terminar aquela construção, pois por cada piso terminado, outro maior lhe sucedia.
Assim ,e mesmo com a obra a decorrer , resolveu começar a deixar entrar todas as pessoas em número exactamente igual às areas construidas deixando claro que a ocupação dos pisos deveria de ser feita a partir do primeiro e só depois de estar completo, deveriam ocupar o segundo, o terceiro, o quarto (...) até ao último piso entretanto construido e acabado.
E disse mais , para que tudo se passasse de forma organizada e ordeira, seria atribuido à entrada e por cada um dos ocupantes um número que funcionaria como uma espécie de Bilhete de identidade pessoal e intransmissível.Os homens ficariam com bilhetes de identidade cujo número fosse par, e as mulheres com os B.I's ímpares.
Determinou também que a primeira pessoa(1) ficasse como porteira do edificio sendo assessorada nessa tarefa unicamente pela segunda(2),terceira(3) e quinta(5) mulher.
E foi a pessoa número 1, com o bilhete de identidade número 1, que ficou incumbida pelo sr. Arquitecto de ir distribuindo os bilhetes de identidade por todas as outras pessoas à medida que estas iam entrando no edificio.
Quando por fim essa tarefa ficou concluida e já todas as pessoas tinham entrado e se tinham instalado cómodamente no m2 que lhes havia sido destinado até ao piso 10⁽ⁿ⁻²⁾, o nosso simpático arquitecto resolveu comemorar esse feito organizando uma grande festa com direito a baile e tudo.
A única condição que impôs era que as pessoas se vestissem impecavelmente e com roupas de côr diferente que ele próprio escolheria, de forma a que lhe pudesse ser possível diferenciar uns dos outros.Assim , as mulheres que tinham números de bilhete de identidade ímpares iriam usar um vestido vermelho e os homens com números de B.I pares usariam um fato azul.
defeniu em simultâneo um conjunto de regras com o propósito de estudar o comportamento social das pessoas , seja individual ou seja colectivamente. Quer as pessoas alvo do estudo estivessem alojadas num piso específico, quer , por extrapolação, estivessem alojadas num determinado conjunto de pisos ou/e em última análise todas as pessoas do edifício, independentemente de o último dos pisos poder estar ou não ainda em fase de conclusão.
Assim que o baile começou, o nosso anfitrião, o arquitecto XPTO, percorreu cada um dos pisos com um bloco de notas na mão onde ia anotando o comportamento de cada um dos convivas e logo no primeiro piso deparou-se com uma situação algo insólita. "Algumas" das mulheres não dançavam com nenhum dos homens presentes,optando por dançar unicamente enre si.Intrigado, abeirou-se de uma delas e perguntou porque razão é que não dançavam com outros homens, ao que ela respondeu :
- " ...é que nós somos primas. E não nos misturamos com mais ninguém.".
No piso imediatamente a seguir, observou o mesmo fenómeno, e no piso a seguir igual e no piso a seguir igual (...) tendo concluido que existiam em todos os pisos "primas" que apenas dançavam entre si.
Resolveu então contar quantas "primas" havia em cada um dos pisos para depois de somar os números que fosse anotando, ficaria a saber quantas primas existiriam ao todo no edificio.
Para que lhe fosse mais fácil fazer a contagem ordenou às "primas" que vestissem por cima do vestido vermelho um casaco branco, tendo encarregue a porteira de distribuir os referidos casacos por todas as "primas".
feita a distribuição de casacos brancos , o nosso arquitecto recomeçou então a contagem a partir do primeiro piso. Em 10 pessoas, encontrou 4 casacos brancos que por coincidência pertenciam as mulheres com os B.I. 2,3,5,7. Das quais as mulheres 2,3 e 5 tinham ficado incumbidas de auxiliar no que fosse preciso a porteira que era a mulher 1,
No segundo piso encontrou 21 mulheres com casaco branco. No terceiro piso 143. Resolveu logo aqui fazer uma primeira análise aos resultados recolhidos e verificou que sempre que ia subindo um piso, a proporção entre as mulheres que tinham casacos brancos e as que não tinham ia ficando menor, tendo concluido que a continuar assim, nos últimos pisos do edificio deveriam de haver pouquissimas mulheres de casaco branco.Observou que no limite, a percentagem de mulheres com casaco branco em relação aos homens e mulheres desse piso deveria de ser praticamente igual a 1%.
(continua )
sexta-feira, 20 de fevereiro de 2009
Reflexões
Se,
N = [#{p}= π(n) ] + # {Fp} + # {Np}
então para n ≥ 2 :
N = 10 ⁿ - 10, → [#{p}= π(10 ⁿ - 10) ] = N - [# {Fp} + # {Np}]
Se
10 ⁿ - 10 / 30 = 3↑(n-1) → 3↑(n-1) . 8 (= 1∫α) = 24 + 240 + 2400 + 24000 + ...
então para n ≥ 3
24 + 240 + 2400 + 24000 + 240000 + ... = 2(6↑(n-3)4
vejamos:
10³-10 = 990 → 990/30 = 33 →33 x 8 = 264 → 264 = 24 + 240
10⁴ - 10 = 9990 → 9990/30 = 333 → 333 . 8 = 2664 → 2664= 24+240+2400
então se :
1∫α = 8 (p ^ Fp) → 10 ⁿ - 10 ) 3 ↑(n-1) ∫α → (10 ⁿ - 10) - 3 ↑(n-1)∫α = Np
logo :
Np ) 10 ⁿ - 10 = 3 ↑(n-1) . 8 . 2,75
Se:
(10 ⁿ - 10) produz 3 ↑(n-1)sa
1 sa = 1 + 6 =7 + 4 =11 + 2 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 6 = 29
2 sa = 1,7,11,13,17,19,23,29 - 31,37,41,43,47,49,53,59
3 .∫α = 1,7,11,13,17,19,23,29 - 31,37,41,43,47,49,53,59 - 61,67,71,73,77,79,83,89
(...)
n .∫α = (n.30) +1 + 6 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 6
Logo :
3↑ ( n-1) 1.∫α(=8) . 3,75 = 10 ⁿ - 10
Podemos verificar que :
10 ⁿ - 10 / 2 = 2 . [4(9↑(n-2))5 ] números pares e ímpares .
-------------------------------------------------------------------
situemo-nos :
1 - 0 + 1+2+3+4+5+6+7+8+9
2 - 10 + 11 +22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99
3 - 10² +111+222+333+444+555+666+777+888+999
4 - 10³ +1↑4+2↑4+3↑4+4↑4+5↑4+6↑4+7↑4+8↑4+9↑4
5 - 10⁴ +1↑5+2↑5+3↑5+4↑5+5↑5+6↑5+7↑5+8↑5+9↑5
6 - 10⁵ +1↑6+2↑6+3↑6+4↑6+5↑6+6↑6+7↑6+8↑6+9↑6
(...)
∞-1 - 10ⁿ + 1↑(n+1)+ (...)
Esta tabela, possui caracteristicas interessantes ( recordo-vos o conceito de dimensionalidade ) que nos permitirá , no âmbito da demonstração da nossa conjectura ir agrupando os números primos à medida que forem sendo produzidos por π(10 ⁿ - 10).
Por hoje fico mesmo por aqui
Até Já
N = [#{p}= π(n) ] + # {Fp} + # {Np}
então para n ≥ 2 :
N = 10 ⁿ - 10, → [#{p}= π(10 ⁿ - 10) ] = N - [# {Fp} + # {Np}]
Se
10 ⁿ - 10 / 30 = 3↑(n-1) → 3↑(n-1) . 8 (= 1∫α) = 24 + 240 + 2400 + 24000 + ...
então para n ≥ 3
24 + 240 + 2400 + 24000 + 240000 + ... = 2(6↑(n-3)4
vejamos:
10³-10 = 990 → 990/30 = 33 →33 x 8 = 264 → 264 = 24 + 240
10⁴ - 10 = 9990 → 9990/30 = 333 → 333 . 8 = 2664 → 2664= 24+240+2400
então se :
1∫α = 8 (p ^ Fp) → 10 ⁿ - 10 ) 3 ↑(n-1) ∫α → (10 ⁿ - 10) - 3 ↑(n-1)∫α = Np
logo :
Np ) 10 ⁿ - 10 = 3 ↑(n-1) . 8 . 2,75
Se:
(10 ⁿ - 10) produz 3 ↑(n-1)sa
1 sa = 1 + 6 =7 + 4 =11 + 2 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 6 = 29
2 sa = 1,7,11,13,17,19,23,29 - 31,37,41,43,47,49,53,59
3 .∫α = 1,7,11,13,17,19,23,29 - 31,37,41,43,47,49,53,59 - 61,67,71,73,77,79,83,89
(...)
n .∫α = (n.30) +1 + 6 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 6
Logo :
3↑ ( n-1) 1.∫α(=8) . 3,75 = 10 ⁿ - 10
Podemos verificar que :
10 ⁿ - 10 / 2 = 2 . [4(9↑(n-2))5 ] números pares e ímpares .
-------------------------------------------------------------------
situemo-nos :
1 - 0 + 1+2+3+4+5+6+7+8+9
2 - 10 + 11 +22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99
3 - 10² +111+222+333+444+555+666+777+888+999
4 - 10³ +1↑4+2↑4+3↑4+4↑4+5↑4+6↑4+7↑4+8↑4+9↑4
5 - 10⁴ +1↑5+2↑5+3↑5+4↑5+5↑5+6↑5+7↑5+8↑5+9↑5
6 - 10⁵ +1↑6+2↑6+3↑6+4↑6+5↑6+6↑6+7↑6+8↑6+9↑6
(...)
∞-1 - 10ⁿ + 1↑(n+1)+ (...)
Esta tabela, possui caracteristicas interessantes ( recordo-vos o conceito de dimensionalidade ) que nos permitirá , no âmbito da demonstração da nossa conjectura ir agrupando os números primos à medida que forem sendo produzidos por π(10 ⁿ - 10).
Por hoje fico mesmo por aqui
Até Já
quinta-feira, 19 de fevereiro de 2009
Ao longo dos textos que foram sendo publicados neste blog, existem algumas questões que gostaria de deixar mais bem esclarecidas na medida em que representam ângulos de abordagem senão novos, pelo menos diferentes daquilo a que supostamente estariamos habituados.
1 - p;Fp;Np- São noções que aqui nos aparecem devidamente contextualizadas. Servem um propósito específico e podem facilmente ser assimiláveis pelo mais comum dos leitores. A defenição matemática de um "Falso primo" por exemplo é uma defenição bastante diferente daquela que aqui foi atribuida. Mas será esse facto razão suficiente para inviabilizar um determinado raciocínio matemático ? Não me parece.
2 - somas alfa - Este é também um conceito ( novo ) que surge numa linha de raciocínio orientado num sentido previamente defenido. È conhecida a aversão de alguns puristas a notações novas, ou mesmo a ideias que possam beliscar a "integridade" intelectual do feudo matemático, onde alguns desses puristas vão habilmente escudando a mediocridade dos seus intelectos. O facto é que não faço nenhuma questão de que a este procedimento de ir somando números específicos se possa chamar de "somas alfa". O que de facto é importante é que funcione e disso meus caros, não temos dúvidas, é de resto, extremamente simples fazer-se a verificação. Ofereço um Euro ( à boa maneira de Paul Erdish ) a quem encontrar falácias no raciocínio.
Por hoje é só
Até Já
1 - p;Fp;Np- São noções que aqui nos aparecem devidamente contextualizadas. Servem um propósito específico e podem facilmente ser assimiláveis pelo mais comum dos leitores. A defenição matemática de um "Falso primo" por exemplo é uma defenição bastante diferente daquela que aqui foi atribuida. Mas será esse facto razão suficiente para inviabilizar um determinado raciocínio matemático ? Não me parece.
2 - somas alfa - Este é também um conceito ( novo ) que surge numa linha de raciocínio orientado num sentido previamente defenido. È conhecida a aversão de alguns puristas a notações novas, ou mesmo a ideias que possam beliscar a "integridade" intelectual do feudo matemático, onde alguns desses puristas vão habilmente escudando a mediocridade dos seus intelectos. O facto é que não faço nenhuma questão de que a este procedimento de ir somando números específicos se possa chamar de "somas alfa". O que de facto é importante é que funcione e disso meus caros, não temos dúvidas, é de resto, extremamente simples fazer-se a verificação. Ofereço um Euro ( à boa maneira de Paul Erdish ) a quem encontrar falácias no raciocínio.
Por hoje é só
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